拉格朗日数论成果：数学领域花絮

距今2000多年前埃及阿历山大城的一位名叫丢番图(Dio Phantus)的数学家，曾经研究怎么样的整数能表示两个平方数的和。

据说真正的答案是由两位欧洲的数学家，在1300多年后才得到：一位是荷兰的吉拉(Albert Girard)，这是1625年；另外一位是稍迟时候发现的法国数学家费马(Fermat)。

我们现在知道第一个公开的证法是欧拉在1749年给出。

并不是所有的正整数都能表示为两个平方数的和，最简单的几个例子是：3，6，7，11等等。

欧拉发现：整数n＝Pa1 1Pa2 2…Pak k是可以表示成两个平方数的和，当且仅当

(1)设有一个素数Pi是属于4k＋＝3的类型，或

(2)如果Pi是形如4k＋3，那么ai，必须是偶数。

吉拉和费马同样认为：任何自然数都可以表示为最少四个平方数的和。但是人看不到他们的证法，而欧拉曾经试几次证明这结果，但不成功。拉格朗日在1770年，在学习欧拉以前这方面的工作之后给出了第一个证明。他的证明在数论上算是相当的美丽。

读者从以上的几个例子，可以相信这个结果是对吧!拉格朗日发现下面定理：“任何整数如果不是平方，可以表示成两个、三个或四个的平方和”的证明。(www.xing528.com)

另外他也发现一个很漂亮的关于素数的结果。对于任何整数n，我们用n!来表示这样的乘积n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1。即

n!＝n×(n－1)×(n－2)×(n－3)×…×3×2×1

例如1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2!＝6

4!＝4×3!＝24，5!＝5×4!＝120，

6!＝6×5!＝720

拉格朗日发现如果n是素数(即除了1和它本身之外没有其他的约数。读者若想知道一些素数的性质，可参看拙著《数学与数学家的故事——第一集》里的《素数趣谈》一文)那么(n－1)!＋1一定是n的倍数。

我们看n＝2，3，5，7这几个例子

n＝2我们有1!＋1＝2当然是2的倍数。当n＝3我们有2!＋1＝3也是3的倍数。取n＝5，我们有4!＋1＝25是5的倍数。取n＝7，6!＋1＝721＝103×7明显是7的倍数。同样在1770年英国数学家威尔森(Wilson)也发现这结果并给予证明。近代数论的书籍，许多人称这结果为威尔森定理，事实上应该是把拉格朗日和威尔森并提才对。