利用介值定理证明题解析

例1.42（浙江省2011年竞赛题）　证明：［x3］＋x2＝［x2］＋x3存在一个非整数解，其中［x］表示不大于x的最大整数.

解析　令

由于时，［x2］＝2，［x3］＝3，于是

f（x）＝x3－x2＋2－3＝x3－x2－1

显见上连续.由于

应用零点定理，必，使得f（ξ）＝0.由于，故ξ∈（1，2），即f（x）＝0至少有一个非整数解，于是［x3］＋x2＝［x2］＋x3至少存在一个非整数解.

例1.43（北京市1992年竞赛题）　已知

求证：（1）对于任何自然数n，方程中仅有一根；

（2）设.

解析　（1）已知0，则由介值定理知，对于.又

因此fn（x）在上严格递减，故xn是惟一存在的.

（2）由，得

故存在正整数N，当n＞N时，有

由于fn（x）严格递减，所以.令n→∞，则，应用夹逼准则可得.

例1.44（浙江省2008年竞赛题）　（1）证明fn（x）＝xn＋nx－2（n为正整数）在（0，＋∞）上有惟一正根an；（2）计算.

解析　（1）由于上应用零点定理，，使fn（an）＝0.又∈（0，＋∞），即fn（x）在（0，＋∞）上严格单调增，故在（0，＋∞）上有惟一正根an.

（2）由n∈N＊得，故(www.xing528.com)

进一步得，因此

令n→∞，则

应用夹逼准则知.

例1.45（北京市1994年竞赛题）　设fn（x）＝x＋x2＋…＋xn（n＝2，3，…）.证明：（1）方程fn（x）＝1在［0，＋∞）内有惟一的实根xn；（2）求.

解析　（1）由题可知fn（x）在［0，1］上连续，且fn（0）＝0，fn（1）＝n＞1.由介值定理知，∃xn∈（0，1），使得fn（xn）＝1.又，x≥0，即fn（x）在［0，＋∞）上严格递增，故fn（x）＝1在［0，＋∞）内有惟一的实根xn.

（2）由（1）知，∀n≥2，有0＜xn＜1，故数列｛xn｝是有界的.又fn（xn）＝1＝fn＋1（xn＋1），即

移项得

故xn＞xn＋1，即数列｛xn｝单调减少.据单调有界准则知数列｛xn｝收敛.

由，且0＜x2＜1，应用夹逼准则，得.又

令xn→A（n→∞），则.

例1.46（精选题）　已知函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）＝f（b），求证：∃ξ∈（a，b），使得.

解析　令，则

由此可得

（1）当；

（2）当时，应用零点定理，，使得F（ξ）＝0，即