R程序：正态总体均值与方差区间估计

1.单一正态总体均值的区间估计

单一正态总体均值的区间估计一般分为两种情况：一，总体方差σ2已知，求μ的置信区间；二，总体方差σ2未知，求μ的置信区间。下面对这两种情况分别介绍。

（1）总体方差σ2已知，求其均值μ的置信区间

设（X1，X2，…，Xn）为总体X～N（μ，σ2）的一个样本，已知方差σ2=σ20（σ20已知），求μ的1-α置信区间。

此问题的解决方法与例3.3.1完全相同，故不再讨论，这里只给出求μ的1-α置信区间公式。

其中，为置信下限，为置信上限。

例3.4.1 一批保险丝中随机抽取16根，测得其熔化时间（单位：s）为

65 75 78 87 48 68 72 80

81 54 51 77 65 57 60 78

设这批保险丝的熔化时间服从正态分布N（μ，22），试求μ的95%置信区间。

解 已知

n=16,σ=2,1-α=95%,α=0.05

样本均值

查附表2得

uα/2=u0.025=1.96

则置信下限为

置信上限为

故μ的95%置信区间为（63.52，69.48）。

基于R的求解方法之一如下：

（2）总体方差σ2未知，求均值μ的置信区间

设（X1，X2，…，Xn）为总体X～N（μ，σ2）的一个样本，方差σ2为未知，求μ的1-α置信区间。

由于σ2未知，不能根据式（3.3.3）来求μ的置信区间，在这种情况下，自然应考虑用样本方差S2来估计σ2。由式（2.3.10）知

于是，利用t分布，可导出对正态总体均值μ的区间估计。对于给定的α（0＜α＜1），存在（n-1）使

由图3.4.1可见，这里的（n-1）是自由度为n-1的t分布的分位数。由t分布表可查得（n-1）的数值。

图3.4.1　t分布的双侧分位数图

把t变量代入式（3.4.3）得

可改写为

故μ的1-a置信区间为

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例3.4.2 用某种仪器间接测量温度，重复测量5次得温度（单位：℃）数据如下：

1250 1265 1245 1260 1275

假定仪器无系统误差，测量值X服从正态分布，试以95%的置信度估计温度真值的置信区间。

解 用μ表示温度真值，在测量仪器无系统误差的前提下，E（X）=μ。这时测量值的不同完全是由于随机因素造成的，由于X～N（μ，σ2），因此这一问题实际上就是未知σ2估计μ的置信区间。

由题意知，n=5，α=5%，查t分布表得

样本均值

样本方差

则置信下限

置信上限

故μ的95%置信区间为（1 244.18，1 273.82）。

基于R的求解方法之一如下：

2.单一正态总体方差的区间估计

设正态总体分布是N（μ，σ2），其中μ和σ2都是未知的。从总体中抽得一样本，试对总体方差σ2或标准差σ作区间估计。

总体方差σ2可用样本方差S2作点估计。由前面的定理知：

给定置信度1-a，在χ2（n-1）的分布密度图（如图3.4.2所示）中，取左右两侧面积都等于，即

图3.4.2　卡方分布的双侧分位数图

于是，中间部分面积等于1-α，即

将式（3.4.6）代入式（3.4.7）得

故对于置信度1-α，σ2的置信区间为

例3.4.3 设炮弹速度服从正态分布，现抽9发炮弹做试验，得样本方差s2=11（m/s）2，分别求炮弹速度方差σ2和标准差σ的置信度为90%的置信区间。

解 据题意知：n=9，1-α=90%，故α=10%，查χ2分布表得从而，σ2的置信下限为

σ2的置信上限为

故σ2置信度为90%的置信区间是（5.675，32.199），而σ的置信区间是（2.38，5.67）。