离散方程推导：跨流域调水工程中关键技术

在不考虑渠道或河流边界处的情况下,可采用均衡域中物质质量守恒的概念推导水质方程,并得出离散方程格式。在均衡域内,物质完全混合,各处浓度保持一致,如图4.2所示。

图4.2中阴影部分即为均衡域。由图可知,均衡域体积为

式中:Vj为j断面处均衡域体积;分别为均衡域入口断面和出口端面面积,其中

则均衡域体积为

则Δt时段内均衡域中水质变量质量变化量为

式中:i、i+1分别表示第i时层和i+1时层。

水质变量在水体中浓度的变化是一种物理的、化学的和生物学的十分复杂的综合过程。其中物理过程包括移流作用、分子扩散作用、紊动扩散作用、离散作用、吸附与解吸以及沉降与再悬浮等;化学和生物学过程包括氧化反应、呼吸作用以及光合作用等。除此之外,水体内水质变量浓度还可能受到旁侧入流、突发点源等外部来源的影响。

4.1.3.1 移流离散作用对均衡域内水质变量的影响

1.移流作用

对于某点水质变量沿x方向的移流通量Fx为

式中:u为某点x方向时均流速;C为某点水质变量时均浓度。

则某一断面Δt时段内由于移流作用通过的水质变量质量为

式中带有“—”上标的变量为断面平均值,后文中省略上标。

则考虑Δt时段内通过移流作用流进和流出均衡域的水质变量质量分别为

式中:-θ)Cj+1,其中θ为上风因子,0≤θ≤1。当＞0时,θ≥;当≤0时,θ≤;当＞0时,取θ=1,则称该情况为完全上风格式,该情况下进入均衡域的水质变量浓度为上游入流节点浓度。

2.分子扩散作用

分子扩散作用符合费克第一定律:

式中:Mm为某点x方向上的分子扩散通量;Em为分子扩散系数,其取值范围一般为10-9～10-8 m2/s。

则考虑Δt时段内通过分子扩散作用流进和流出均衡域的水质变量质量分别为

式中:分别为和处的分子扩散系数,

3.紊动扩散作用

与分子扩散作用类似,紊动扩散作用也可用费克第一定律形式表示:

式中:Mt为某点x方向上的紊动扩散通量;Etx为紊动扩散系数,对于雷诺数Re=104左右的湍流流场,紊动扩散系数取值约为3.36×10-4 m2/s。

则考虑Δt时段内通过紊动扩散作用流进和流出均衡域的水质变量质量分别为

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式中:分别为和处的紊动扩散系数,

4.离散作用

离散作用表达式如下:

式中:Md为某点x方向上的离散输送通量;Ed为离散系数,其取值可达10～103 m2/s。则考虑Δt时段内通过离散作用流进和流出均衡域的污染物质量分别为

式中:分别为和处的离散系数,

5.吸附与解吸以及沉降与再悬浮对均衡域内水质变量的影响

由于水源区丹江口水库水体较为清澈,含沙量较小,加之对于输水水质的要求较高,使得渠道内泥沙等固相物质的含量很小,因此在进行水质模拟时,忽略由此可能带来的吸附与解吸以及沉降与再悬浮作用。

6.移流离散作用对均衡域内水质变量的影响

由上述可知,离散系数远远大于分子扩散系数和紊动扩散系数,因此在处理河渠一维水质问题时,往往忽略分子扩散作用和紊动扩散作用,仅考虑移流作用和离散作用。则由于移流离散作用导致的均衡域内水质变量质量变化为

4.1.3.2 源汇项对均衡域内水质变量的影响

1.水质变量的降解与相互作用对于均衡域内水质变量的影响

由4.1.2节可知,本文中认为各水质变量间相互作用导致水质变量浓度的变化过程均符合一级反应动力学方程,则在处理水质变量的降解和相互间作用时,采用零阶和一阶速率进行表征,其对应系数分别为α0和α1,同时,认为“+”(正号)表示水质变量的减少,则考虑Δt时段内由于水质变量的降解与相互作用造成均衡域内水质变量浓度的增加量为

2.旁侧入流以及突发点源对于均衡域内水质变量的影响

当明渠沿线存在旁侧入流且入流中含相应水质变量或明渠中突发点源投入时,也将会对渠道内水质变量产生影响。假定单位长度旁侧入流量为q,对应水质变量浓度为Cq,单位时间突发点源投入水质变量质量为m,则考虑Δt时段内由于旁侧入流以及突发点源造成均衡域内水质变量浓度的变化为

4.1.3.3 离散方程最终形式

考虑到均衡域内物质质量守恒,则Δt时段内均衡域内水质变量的质量变化等于该时段内流入和流出均衡域内水质变量质量的总和,即

将上述各式带入上式,有

式中不带上标的均为i+1时层的变量值。

整理后可得:

可将上式改写为

式中: