【摘要】：所谓函数f（x）的零点，指的是对于f（x）的定义域内的一点x0，有f（x0）=0.定理2 （零点定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，即f（a）f（b）＜0，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使f（ξ）=0证明从略.定理2表明，如果连续曲线y=f（x）的两端点位于x轴的两侧，那么这段曲线与x轴至少有一个交点（见图1-22）.图1-22定理3 （介值定理）如图1
所谓函数f（x）的零点，指的是对于f（x）的定义域内的一点x0，有f（x0）=0.
定理2 （零点定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，即f（a）f（b）＜0，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使
f（ξ）=0
证明从略.
定理2表明，如果连续曲线y=f（x）的两端点位于x轴的两侧，那么这段曲线与x轴至少有一个交点（见图1-22）.
图1-22
定理3 （介值定理）如图1-23所示，设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值
f（a）=A，f（b）=B
那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一个点ξ，使得
f（ξ）=C（a＜ξ＜b）
证明从略.(www.xing528.com)
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.
图1-23
例1 证明：方程x3-4x2+1=0在区间（0，1）内至少有一个根.
证明 因为函数f（x）=x3-4x2+1在闭区间[0，1]上连续，又
f（0）=1＞0，f（1）=-2＜0
根据零点定理，在区间（0，1）内至少存在一点ξ，使得
f（ξ）=0
即 ξ3-4ξ2+1=0（0＜ξ＜1）
这就证明了方程x3-4x2+1=0在区间（0，1）内至少存在一个根.
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