高等数学：函数单调性判定

本节利用导数对函数的单调性进行研究.

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调增加（或单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时，如图3-3所示，曲线上各点处的切线斜率是非负（或非正）的，即y′=f′（x）≥0（或y′=f′（x）≤0）

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.

图3-3

a）函数上升时的切线斜率非负 b）函数下降时的切线斜率非正

下面利用拉格朗日中值定理进行讨论.

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，在区间[a，b]上任取两点x₁，x₂（x₁＜x₂），应用拉格朗日中值定理，得到

f（x₂）-f（x₁）=f′（ξ）（x₂-x₁）（x₁＜ξ＜x₂） （1）

由于在式（1）中，x₂-x₁＞0，因此，如果在区间（a，b）内导数f′（x）保持负号，即f′（x）＜0，那么f′（ξ）＜0，于是f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），表明函数f（x）在区间[a，b]上单调减少.

归纳以上讨论，即得：

定理1 （函数单调性的判别法）设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，

（1）如果在区间（a，b）内f′（x）＞0，那么函数f（x）在区间[a，b]上单调增加；

（2）如果在区间（a，b）内f′（x）＜0，那么函数f（x）在区间[a，b]上单调减少.

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立.

例1 判定函数y=x-sinx在区间[0，2π]上的单调性.

解 因为在区间（0，2π）内y′=1-cosx＞0，所以由判定法可知，函数y=x-sinx在区间[0，2π]上单调增加.

例2 讨论函数y=e^x-x-1的单调性.

解y′=e^x-1.

函数y=e^x-x-1的定义域为（-∞，+∞）.因为在区间（-∞，0）内y′＜0，所以函数y=e^x-x-1在区间（-∞，0]上单调减少；因为在区间（0，+∞）内y′＞0，所以函数y=e^x-x-1在区间[0，+∞）上单调增加.

例3 讨论函数的单调性.

解 函数的定义域为（-∞，+∞）.

当x≠0时，函数的导数为；(www.xing528.com)

当x=0时，函数的导数不存在.所以在区间（-∞，0）内，y′＜0，因此函数在区间（-∞，0]上单调减少；

在区间（0，+∞）内y′＞0，所以函数在区间[0，+∞）上单调增加.函数的图形如图3-4所示.

图3-4

例4 确定函数f（x）=2x³-9x²+12x-3的单调性.

解 函数的定义域为（-∞，+∞）.求函数的导数：

f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）令f′（x）=0，即6（x-1）（x-2）=0，得出它在函数定义域（-∞，+∞）内的两个根x₁=1，x₂=2.这两个根把区间（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，1），[1，2]以及（2，+∞）.如图3-5所示.

图3-5

在区间（-∞，1）内，x-1＜0，x-2＜0，所以f′（x）＞0，因此，函数f（x）在区间（-∞，1）内单调增加；在区间[1，2]内，x-1＞0，x-2＜0，所以f′（x）＜0，因此，函数f（x）在区间[1，2]上单调减少；在区间（2，+∞）内，x-1＞0，x-2＞0，所以f′（x）＞0，因此，函数f（x）在区间（2，+∞）内单调增加.

例5 讨论函数y=x³的单调性.

解 函数的定义域为（-∞，+∞）.

函数的导数y′=3x².显然，除了在x=0处使y′=0外，在其余各点处均有y′＞0.因此函数y=x³在区间（-∞，0）及（0，+∞）上都是单调增加的，从而在整个定义域（-∞，+∞）内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.函数的图形如图3-6所示.

图3-6

例6 证明：当x＞1时，.

证明 令，则.

又f（x）在区间[1，+∞）上连续，在区间（1，+∞）内f′（x）＞0，因此在区间[1，+∞）上f（x）单调增加，从而当x＞1时，有f（x）＞f（1）

由于f（1）=0，故f（x）＞f（1）=0

即

亦即