函数的单调性简便判断方法

单调性是函数的重要性质，然而利用定义来讨论函数的单调性往往是非常困难的，下面介绍一种利用拉格朗日中值定理建立的判断函数单调性的简便方法.

函数y=f（x）在区间[a，b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.曲线上任一点处的切线与x轴正向夹角为锐角（钝角），即切线斜率f′（x） ＞0（f′（x） ＜0），那么，反过来，当f′（x） ＞0（f′（x） ＜0），能否断定函数单调增加（单调减少）呢？

定理1 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，

（1） 如果在（a，b） 内f′（x） ＞0，则函数f（x）在[a，b] 上单调增加（图3-5（a））.

（2） 如果在（a，b） 内f′（x） ＜0，则函数f（x）在[a，b] 上单调减少（图3-5（b））.

设x1、 x2是[a，b]上任意两点，且x1＜x2，由拉格朗日中值定理有ξ∈（x1，x2） ⊂（a，b），使

如果f′（x） ＞0，必有f′（ξ） ＞0，又x2-x1＞0，从而f（x2） -f（x1） ＞0，故函数y=f（x）在[a，b]上单调增加.

同理可知f′（x） ＜0 时，函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.

如果把定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论也成立.

【例1】 血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心脏，医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P（单位： mmHg） 的数学模型P=表示血液从心脏流出的时间（单位：秒）.问在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是单调减少的？

图3-5

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有些函数在它的定义域内不是单调的，但在其各个部分区间上却具有单调性，而由单调增加转为单调减少，意味着导数由大于零变为小于零.因此，可由导数等于零的点（或导数不存在的点）来划分函数的单调区间，通常把导数等于零的点叫做函数的驻点.

【例2】 讨论函数f（x） =2x3-3x2的单调性.

解 f（x） =2x3-3x2的定义域为（ -∞，+∞），

令f′（x） =0 得驻点： x1=0，x2=1，它们将（ -∞，+∞） 划分为三个部分区间（ -∞，0），（0，1），（1，+∞）.

在（ -∞，0）内f′（x） ＞0；在（0，1）内f′（x） ＜0；在（1，+∞）内f′（x） ＞0.

因此由定理1 知，函数f（x）在区间（ -∞，0）与（1，+∞） 上单调增加，在区间（0，1）上单调减少.

一般地，如果函数的导数在个别点处为零，在其余点处均为正（或负） 时，函数在该区间上仍旧是单调增加（减少）的.如y=x3，y′=3x2，除了x=0 使y′=0 外，在其余各点处均有y′＞0，因此y=x3在整个定义域上都是单调增加的，只是曲线在x=0 处有一水平切线.

利用函数的单调性可以证明某些不等式.

【例4】 试证明：当x＞0 时，ln（1 +x） ＜x.