用导数研究函数单调性的方法详解

单调性是导数应用的重点内容，主要有4类问题：①利用导数证明或判断函数的单调性;②利用导数求函数的单调区间；③已知函数的单调性，求参数的范围；④先证明函数的单调性，再运用单调性证明不等式等问题.

1.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤

(1)求f′(x);

(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；

(3)推出结论：f′(x)>0为增函数，f′(x)<0为减函数.

2.导数法求函数单调区间的一般步骤

(1)求定义域:求函数为y=f(x)的定义域.

(2)求根：求方程f′(x)=0在定义域内的根.

(3)划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间.

(4)定号：确定f′(x)在各个区间内的符号.

(5)得出结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间.

3.已知函数的单调性，求参数的取值范围

大多数情况下均可归结为对含有参数的不等式解集的讨论，或可理解为含参数不等式恒成立求参数的取值范围.常用的处理方法是分离参数法，构造新的函数，通过求最值来解决，涉及分类讨论、数形结合等思想方法.

一、例题精讲

例1　已知函数且a≠1).

(1)求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；

(2)对于恒成立，求m的取值范围.

解题策略　本题的难点是第(2)问：含参数不等式恒成立问题，通常先脱去对数符号(注意对a>1，0<a<1的分类讨论).再把参数与变量分离，使原问题转化为求一边函数的最值，即当x∈[2，4]时恒成立，当a>1时，转化为对x∈[2，4]恒成立，当0<a<1时，转化为对x∈[2，4]恒成立，把分式不等式化为整式不等式，并且使参变量m与自变量x分离，构造出函数g(x)=-x3+7x2+x-7，运用导数求g(x)的最大值、最小值.而要求最值势必应研究函数g(x)的单调性.

解：(1)由>0，解得x<-1或x>1，∴函数的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞).

∵当x∈[-∞，-1]∪(1，+∞)时，在定义域上是奇函数.

(2)由x∈[2，4]时，恒成立可知：

1当a>1时，得对x∈[2，4]恒成立.

∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2，4]恒成立.

设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x)，x∈[2，4]，则g(x)=-x3+7x2+x-7.(www.xing528.com)

当x∈[2，4]时，g′(x)>0.

∴y=g(x)在区间[2，4]上是增函数，g(x)min=g(2)=15，∴0<m<15.

2当0<a<1时，对x∈[2，4]恒成立.

得对x∈[2，4]恒成立.

∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2，4]恒成立.

设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x)，x∈[2，4]，由 1 可知y=g(x)在区间[2，4]上是增函数，g(x)max=g(4)=45.∴m>45.

综上所述，当a>1时，m∈(0，15);当0<a<1时，m∈(45，+∞).

例2　设

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[-1，2]时，f(x)-m<0恒成立，求实数m的取值范围.

解题策略　求函数的单调区间实质上是求导后“解不等式”，关于恒成立问题，可采用分类讨论的思想方法，将问题归纳为求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值.

解：(1)f′(x)=3x2-x-2，由f′(x)>0得3x2-x-2>0，即或x>1.

由f′(x)<0，得3x2-x-2<0，即

∴函数的单调增区间为函数的单调减区间为

(2)∵f(x)<m恒成立，

∴m大于f(x)的最大值，当x∈[-1，2]时，分段讨论如下：

时，f(x)是增函数，

时，f(x)是减函数，

x∈[1，2]时，f(x)是增函数，∴f(x)max=f(2)=7.

从而m>7.

二、发散训练

1. 已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.

2. 已知函数其中a>0，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，试用含a的式子表示出b的取值范围.