数学教学中的函数单调性与导数实例分析

（一）案例描述（见表7-2）

表7-2　“函数的单调性与导数”教学案例（部分）

（二）教学过程

1.创设情境，引入新课

师：我们在上一周已经学习了导数的概念及导数的运算。接下来，我们就学习导数在研究函数中的应用，本节课我们先来研究函数的单调性与导数的关系。

师：我们主要回顾判断函数单调性的方法。首先，画出图像，并观察图像的变化趋势；其次，利用单调性的定义确定单调区间。

[教师继续添加分支，展示h（t）=-4.9t2+6.5t+10]

问题1：已知运动员起跳t秒后，相对于水面的高度h（单位：m），可用函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10表示。

师：二次函数的图像我们非常熟悉。当t∈（0，0.06）时，h（t）单调递增；当t∈（0.06，2.24）时，h（t）单调递减。

（注意：函数的定义域）

（在思维导图1-1中继续添加小分支，展示一元三次函数）

问题2：试判断函数f（x）=2x3-6x2+7的单调区间。

（利用一元三次函数提高学生的求知欲，引入新课）

2.探究新知

师：首先，我们从特殊的函数来探究函数的单调性与导数的关系。

[教师继续添加分支，展示要探讨的函数式h（t）=-4.9t2+6.5t+10]

问题3：仍以函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10为例，试判断单调性与导数的关系。

师生共同总结：

当t∈（0，0.06）时，h（t）单调递增，h′（t）＞0；

当t∈（0.06，2.24）时，h（t）单调递减，h′（t）＜0。

问题4：我们可否再举一些函数，看看是否也符合这种规律的一般性？

（教师在思维导图中继续添加分支，形成思维导图）

（教师主要采用几何画板进行验证）

教师总结：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内，(www.xing528.com)

如果f′（x）＞0，那么函数y=f（x）在（a，b）上单调递增；

如果f′（x）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）上单调递减。

问题5：上面的结论还可能有其他情况吗？

在（a，b）内，若恒有f′（x）=0，那f（x）的单调性如何呢？

师：若f（x）在某个区间内恒有f′（x）=0，则f（x）为常数函数。

教师小结：结论的探究思路或方法为归纳推理。

3.课堂练习

4.课后小结

5.布置作业

（三）案例分析

1.从教学流程上分析

本案例是研究导数在函数中应用的第一节课的内容，导数的定义及运算等基本内容在前一章中已经学习完了，接下来主要是学习导数的应用。在创设情境时，教师利用思维导图引入复习回顾的内容。对于一元二次函数，学生可以利用函数图像确定单调区间；而对于给出的一元三次函数，如果学生利用单调性定义确定单调区间太烦琐，教师可以找到更简便的方法，抛出问题，让学生产生探究新方法的欲望，从而引入新课。

在新课探究中，从教师利用思维导图展示的两个分支中可以看出，教师先引导学生从一个特殊函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10出发，观察函数的图像及导数的正负，试总结函数的单调性与导数的关系。其次，为了证实这一结论，教师引导学生研究一组具有一般性的函数，观察他们的图像及导数的正负，发现结果符合我们前面总结的结论，从而得出函数的单调性与导数的关系。再次，在接下来的环节中，教师在两个例题中采用讲练结合的方式，师生共同讨论并总结利用导数求函数单调区间的步骤。最后，教师再利用思维导图总结函数的单调性与导数的关系，在探讨二者的关系时所用到的数学思想方法，最终完善思维导图，将整节课的内容及教学思路清晰地展现在学生面前。

2.从导图构建上分析

本案例只是关于某一节内容的教学设计，在设计思维导图时，考虑到在讲解一节新课时，主要从创设情境、复习引入，新课探究，应用举例三个方面入手，所以将“引入”“探讨”“总结”作为三个重要的分支，每个分支都是需要学生参与的，所以在每个分支后，根据需要探讨的问题继续添加分支。

在“引入”这一分支后，我们需要复习回顾函数单调性的定义，利用单调性定义判定函数的单调区间，所以将“单调区间”作为一个小的分支的关键字。回顾利用定义求单调区间，主要从我们熟悉的一元二次函数入手，然后试着判断一元三次函数的单调区间，发现应用定义法过程烦琐。那么，有没有简单一点的方法呢？这让学生产生了对新知的探索欲望，所以用两个函数式作为关键词。

在“探讨”这一分支上，教学设计主要从一个特殊函数和一组具有一般性的函数进行探讨，所以将“特殊”和“一般”作为关键词，这样可以让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。

在“总结”一支上，我们主要从函数的单调性与导数的关系，利用导数确定函数的单调区间的步骤，以及用到的数学思想方法三个方面进行总结，所以将“关系”“方法”“步骤”作为关键词放在分支上。最后，作为“单调性”的第四个分支“单调区间”，这个主要是考虑到，研究函数的单调性与导数的关系是为了确定函数的单调区间。最后用一个关联箭头，就是想表明这一点。

3.从教学效果上分析

在实际教学中，函数的单调区间是可以利用函数的单调性定义判断出来的，但是过程过于烦琐，教师可以找到简便方法，以引导学生探讨未知，让学生产生强烈的求知欲，对研究函数的单调性与导数正负的关系具备很强的好奇心。通过思维导图的引导，学生在探索过程中不易逻辑错位，易掌握教学要点和教学目的，让学生保持思路清晰、思维缜密。总之，本案例为“函数的单调性与导数”的教学提供了思路，我们也可以从中了解具体操作流程的思路和方法，验证了在教学设计中应用思维导图的可行性与概括性。