曲线弯曲程度的计算公式及应用

我们认识到：直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些，而其他曲线有不同的弯曲程度.例如，抛物线y=x²在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害些.

下面讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度.

在图3-16中可以看出，弧段比较平直，当动点沿这段弧从M₁移动到M₂时，切线转过的角度φ₁不大；而弧段弯曲得比较厉害，角φ₂就比较大.

但是，切线转过角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度.例如，从图3-17中可以看出，两端曲线弧尽管其切线转过的角度都是φ，然而弯曲程度并不相同：短弧段比长弧段弯曲得厉害些.由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有关.

图3-16

图3-17

按上面的分析，下面给出描述曲线弯曲程度的曲率概念.

设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M₀作为度量弧s的基点，设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为α（这里假定曲线C所在的平面上已设立了Oxy坐标系）.曲线上另一点M′对应于弧s+Δs，在点M′处切线的倾角为α+Δα（见图3-18），那么，弧段的长度为Δs，当动点从M移动到M′时切线转过的角度为Δα.

我们用比值，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，把这比值叫作弧段的平均曲率，并记作，即.类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当Δs→0时（即M′→M时），上述平均曲率的极限叫作曲线C在点M处的曲率，记作K，即.

图3-18

在存在的条件下，K也可以表示为.

下面通过两个具体的例子来探讨曲率对弯曲程度的描述.

对直线来说，切线与直线本身重合.当点在直线上移动时，切线的倾角α不变，即Δα=0，，从而.这就是说，直线上任意点M处的曲率都等于零，这与我们认识到的“直线不弯曲”一致.

设圆的半径为r，在点M，M′处圆的切线所夹角Δα等于中心角∠MDM′.但，于是从而

因为点M是圆上任意取定的一点，则上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径r的倒数.这就是说，圆的弯曲程度每处都一样，且半径越小曲率越大，即弯曲得越厉害.

下面根据来导出便于实际计算的曲率的公式.(www.xing528.com)

设曲线的直角坐标方程是y=f（x），且f（x）具有二阶导数（这时f′（x）连续，从而曲线是光滑的）.因为tanα=y′，所以，即

于是

又由，可得

若曲线由参数方程给出，则曲线的曲率公式为

例1 计算等边双曲线xy=1在点（1，1）处的曲率.

解 由，得，.因此，y′∣_x=1=-1，y″∣_x=1=2.把它们代入公式，便得曲线xy=1在点（1，1）处的曲率

例2 抛物线y=ax²+bx+c上哪一点处的曲率最大？

解 由y=ax²+bx+c，得y′=2ax+b，y″=2a.代入公式，得

因为K的分子是常数2a，所以只要分母最小，K就最大.容易看出，当2ax+b=0，即时，K的分母最小，因而K有最大值2a.而所对应的点为抛物线的顶点.因此，抛物线在顶点处的曲率最大.

在有些实际问题中，∣y′∣同1比较起来是很小的（有的工程技术书上记为∣y′∣≪1），可以忽略不计.这时，由1+y′²≈1，则曲率的近似计算公式为

这就是说，当∣y′∣≪1时，曲率K近似于∣y″∣.经过这样简化之后，对一些复杂问题的计算和讨论就方便多了.