推导斩都体积公式的棊验法

《筭数书》的绝大部分和《九章筭术》的主体部分都成立于先秦。《筭数书》虽不是《九章筭术》的前身，但它们有许多已成为先秦数学界的共识的相同的数学方法。[7]根据这种情况，我们认为，斩都的体积公式（1）也是由棊验法推导出来的。其方法应该是：取下厚3尺，上厚1尺，高1尺，袤2尺的标准型斩都ABCDEF，它可以分解为中央2个厚、高、袤各1尺的堑堵ADHGIJ与BCHGIJ，及两侧各2个厚、高、袤各1尺的鳖腝，AB侧的2个鳖腝AGIE与BGIE，CD侧的2个鳖腝DHJF与CHJF。一侧的2个鳖腝对称，两侧相应位置上的2个鳖腝全等，都是《九章筭术》讨论过的，如图5（1）。然后构造两个长方体：

图5　斩都之棊验法

一个是长为标准型斩都上厚的2倍即2尺，宽为斩都的袤2尺，高即斩都的高1尺，其体积是：（2×上厚）×袤×高，如图5（2）。共4个边长为1尺的正方体棊，每个可以分解2个堑堵，如图5（3）。共为8个厚、袤、高均为1尺的堑堵。

一个是长为标准型刍甍下厚3尺，宽为斩都的袤2尺，高即斩都的高1尺，其体积是：下厚×袤×高。共6个边长为1尺的正方体棊，如图5（4）。其中2个可以分解为4个厚、袤、高均为1尺的堑堵，亦如图5（3）。另外4个，每一个可以分解为6个厚、袤、高均为1尺的鳖腝，它们三三全等，两两对称，如图5（5）；总计分解成24个鳖腝，十二十二全等，两两对称。

这两个长方体可以合并成一个长方体：长为5尺，即标准型斩都上厚的2倍与下厚之和，宽为2尺，即斩都的袤，高1尺，即斩都的高。其体积是：（2×上厚+下厚）×袤×高。它总共含有12个堑堵，24个鳖腝。与标准型斩都比较，标准型斩都中的1个堑堵、1个鳖腝在这个长方体中都变成了6个。换言之，这个长方体可以重新组合成6个标准型斩都。那么一个标准型斩都的体积就是

将其推广到一般情形，就是公式（1）。

如果这种推测可靠，那么《筭数书》在推导多面体体积公式时除了三品棊之外，还用到长、宽、高均为1尺的四面皆为勾股形的鳖腝棊，这是《九章筭术》的棊验法所没有的。

与《九章筭术》关于刍甍的棊验法不需要预先知道堑堵、阳马的体积公式一样，对斩都的棊验法也不需要预先知道堑堵、鳖腝的体积公式。同时，这种方法对一般尺寸的斩都的求积公式的推导是无能为力的，因为此时所构造的长方体中的小长方体无法分解成三三全等、两两对称的鳖腝，当然无法与斩都分解出来的鳖腝比较。

参考文献(www.xing528.com)

[1]江陵张家山汉简整理小组.江陵张家山汉简《算数书》释文.文物，1990，9：78～84.

[2][日]张家山汉简《算数书》研究会.汉简《算数书》——中国最古的数学书.日.京都：朋友书店，2006：36.

[3]郭书春.《筭数书》的校勘.中国科技史料，2001，22（3）：202～219.本文凡引《筭数书》的文字，如不说明，均据此.

[4]郭书春.汇校《九章筭术》增补版.沈阳：辽宁教育出版社，台北：九章出版社，2004：185.本文凡引《九章筭术》及其刘徽注的文字均据此.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[5]郭书春译注.九章算术.沈阳：辽宁教育出版社，1998：316～317.

[6]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.繁体字修订本.台北：明文书局，1995.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

[7]郭书春.关于《筭数书》与《九章筭术》的关系.曲阜师范大学学报（自），2008，34（3）：1～9.

【注释】

[1]“斩”，原本讹作“郓”，依《汉简〈算数书〉——中国最古的数学书》改正。不过此书又将“斩都”改为“堑堵”。