金元数学是中国传统数学继战国西汉、魏晋南北朝两个高潮之后的第三个高潮宋元数学的重要部分。它的主要成就是勾股测圆，天元术，二元术、三元术、四元术，垛积招差以及改进筹算乘除捷算法等。它们超前其他文化传统几个世纪。金元数学的前期是宋元数学的两个中心之一——北方的太行山两侧的勾股测圆研究和天元术研究，后期则是综合两个中心的长处的进一步发展，从而达到了中国筹算数学的最高峰。
勾股测圆以洞渊九容为核心，讨论了圆与勾股形的9种相容关系。它源于西汉成书的《九章筭术》[1]勾股章中一个已知勾股形的勾、股，求其内切圆的直径的问题。勾股容圆术给出的圆径公式是d=
。宋元时代，勾股容圆成为重要的研究专题，人们考虑了勾股形的各种容圆情况，称为洞渊九容。李冶在此基础上撰《测圆海镜》，[2]讨论了勾股形与圆的10种关系。除上述者外还有：圆心在勾上而圆切于股、弦，称为勾上容圆，圆径d=
；同样，股上容圆d=
，弦上容圆d=
；圆心在勾股交点（垂足）而圆切于弦，称为勾股上容圆，d=
；圆切于勾及股、弦的延长线，称为勾外容圆，d=
；同样，股外容圆d=
，弦外容圆d=
；圆心在股的延长线上而圆切于勾、弦的延长线，称为勾外容圆半，d=
；同样，股外容圆半d=
。以上10种容圆关系中，哪9种是“洞渊九容”的内容，哪一种是李冶的补充，自清中叶以来，学术界有不同意见。无论如何，洞渊九容是金元数学关于勾股容圆这一专题研究的核心。这些成就在明朝虽未失传，然而在清末李善兰在《九容图表》[3]补充了另外3种容圆的情况，[4]从而与贾宪的“句股生变十三名图”[5]中关于勾、股、弦三事全部可能的13种和差关系一一对应之前，约600年间关于这一课题的研究没有突破性的进展。
圆城图式
天元术是设未知数为天元一而列方程的方法。现今求方程[1]的正根，中国古代称为开方术，是中国传统数学最为发达的分支。宋金元时期已能解4次及以上次数的方程，但如何从实际问题列出方程，一直难为着数学家。天元术的创立，使列方程的工作程序化了。李冶对天元术的完善做出了贡献。后来数学家们又发展到含有天、地二元的二元术即二元高次方程组解法，含有天、地、人三元的三元术即三元高次方程组解法，朱世杰对天元术、二元术、三元术都有深入研究，进而创立含有天、地、人、物四元的四元术即四元高次方程组解法。这些成就明朝数学家看不懂，直到清中叶传统数学复兴，才被中国数学家重新关注。(www.xing528.com)
垛积术是高阶等差级数求和问题，招差术是以高阶等差级数求和研究为基础的高次插值法，朱世杰使其达到从未有的高度，超前欧洲同类成就300多年。
改进筹算乘除捷算法本来是适应商业发展的民间活动，它的发展和完善导致珠算盘和珠算术的产生，促进其发展，并逐渐取代了算筹和筹算。朱世杰等大数学家也关心这一课题。朱世杰的许多口诀与当今珠算中的口诀毫无二致。
以上这些成就，尤其是勾股容圆和天元术、二元术、三元术和四元术都与道教和道教思想尤其是全真道有着密切的关系。全真道是金元时期尤其是元初相当盛行的道教教派，它在金末元初的乱世对人们起到政治庇护与宗教慰藉的作用，也为知识分子特别是数学家提供了相对稳定的学术环境。自然，全真道的教义必然影响到他们。而上述数学成就的创造者、发展者李冶、朱世杰、赵友钦等或者受到道教思想，尤其是全真道的极大影响，或者本身就是全真道教徒。
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