牛顿插值法与分段拉格朗日图像对比

插值方法有很多种，对比不同的插值方法，以获得满足我们要求的插值方法。

1）牛顿插值（Newton＿Polyfit）

MATLAB代码如下：

拟合图像如图3.2所示。

2）等距节点插值（Equaldis＿Polyfit）

为获得等距向量，补充初始位置x1＝15、y1＝0；同时在xi＝195处补充线性点yi＝-80。

MATLAB代码如下：

图3.2　轨道曲线规划的牛顿插值曲线拟合

拟合图像如图3.3所示。

图3.3　轨道曲线规划的等距节点插值曲线拟合

由于等距节点只针对等距离节点，在路径规划中，两节点之间路径须单独计算。可以看出，插值函数在节点位置较为准确。然而模拟后，最远位移x＝255时，节点t＝8。该节点与其他位置并不是等距离的，并且在真实情况下，出现的多个节点也不都是等距离分布的，更多情况下是随机分布的，本问题中不便于采用等距节点方法，更应该采用低次分段插值法来解决问题。

3）分段拉格朗日插值

将八个数据点分成两段，即0＜x＜120和120＜x＜255，获得如下两组数据：

x1＝［0 45 75 105］，x2＝［135 165 225 255］；

y1＝［0 20 60 60］，y2＝［20-60-100 20］。(www.xing528.com)

MATLAB代码如下：

拟合图像如图3.4所示。

图3.4　轨道曲线规划的分段拉格朗日插值曲线拟合

可以发现在x＝120处两段曲线出现断离，修正后将x1、x2向量扩充一位即：

x1＝［0 45 75 105 135］，x2＝［105 135 165 225 255］；

y1＝［0 20 60 60 20］，y2＝［60 20-60-100 20］。

MATLAB代码如下：

修正后，两段函数在x＝120处的函数值之差减小，对于实际问题来说可以忽略，修正后图像如图3.5所示。

图3.5　轨道曲线规划的分段拉格朗日插值（修正）曲线拟合

讨论：由于等距节点法针对的函数仅限于等距节点，从数据来源角度，等距节点插值适用于该问题的数据处理，同时，其优点在于，在船体位置更新后，经坐标系变换，获得的新的数据节点信息可以获得较快的利用。

图3.6为牛顿插值法和分段拉格朗日图像对比，由于此函数用于船体进程导航，较远距离函数值的收敛性并不必讨论，重点在于函数的曲率，其值应尽量小以满足船体转弯特点。可以明显看出，牛顿插值法获得的函数在0＜x＜50和200＜x＜225之间出现曲率较大的点，而分段拉格朗日函数的曲线较为平滑，更适用于船体自身导航处理。所以最终建议采用分段拉格朗日插值法。

图3.6　牛顿插值法和分段拉格朗日图像对比