数值分析：牛顿插值与拉格朗日插值方法的逼近效果分析

1）第一次插值实验

首先均匀选取18个旋转方向，利用拉格朗日插值法和牛顿插值法进行插值。

MATLAB代码如下：

程序输出结果如图3.17所示。其中，离散点为实际数据图（与图3.16相同），点画线为牛顿插值法插值曲线，虚线为拉格朗日插值法插值曲线。

图3.17　牛顿插值与拉格朗日插值曲线与实验离散点对比

由图3.17可见，拉格朗日插值法在［80，130］区间内具有很好的逼近效果，而在此区间外的部分，距离该范围越远，逼近效果越差甚至失真，Ln（x）不收敛，产生了严重的Runge现象，这是由于插值阶数过高导致的。牛顿插值法逼近效果较好，但是由于所取节点数量不够，在x＝57、x＝158这两个点附近的峰值逼近效果较差，但是增加插值点后，也有可能出现Runge现象。综合上述两点，考虑在两个峰值处增加插值点，并改用分段线性插值。(www.xing528.com)

2）第二次插值实验

MATLAB代码如下：

程序输出结果如图3.18所示。

图3.18　分段线性插值曲线与实验离散点对比

图3.18中，离散点为原始数据，曲线为分段线性插值结果。可以看出，分段线性插值逼近效果非常好，具有很好的收敛性质，在不需要光滑性的问题中，为比较合适的插值方法。综合两次插值实验，拉格朗日插值法在理论分析中很方便，利用插值基函数可以很容易地得到拉格朗日插值多项式，但是在计算过程中，插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化。与之相比，牛顿插值法每增加一个节点只需要再增加一项，快速性更好，减少了大量的运算次数。两者共有的缺点是在高次插值时存在Runge现象，不收敛。分段线性插值避免了Runge现象，具有很好的收敛性，但其缺点是不光滑。在一些对光滑性要求较高的工况实例，如机器人步态规划、车身线条设计等问题时，可以采取三次样条插值法进行插值计算。