隐含波动率插值计算方法

隐含波动率在期权估值定价和交易中是非常重要的，因为这是一个市场波动率，也是经过市场的连续交易一致认可的在这个特定的时点可以被接受的波动率。

然而，市场并不会直接进行隐含波动率的报价，而是报期权价格。交易员需要自行计算隐含波动率，以更好地了解市场。那么，如何计算隐含波动率就成为一个主要问题。

我们从定义出发，假设隐含波动率已知，我们会使用BSM公式计算得到期权价格。那么从数学逻辑上来说，只需要求解BSM公式的反函数，并将期权价格作为输入，即可得到隐含波动率作为输出。在数学逻辑上来说，这是直观清楚的。

但是，问题在于，BSM公式中使用了正态分布的累计函数，这是一个γ函数，其反函数无法使用初等函数表示，这使得构建反函数以求得隐含波动率在实际操作中没有可行性。

因此，这个时候就需要使用数值方法对隐含波动率进行求解。我们在此介绍一种简单的方法，对半插值法，或者叫二分法（Bisection Method）：

对于在区间[a,b]上连续且单调的函数　y=f（x），可通过不断把函数f（x）=0所在的区间对半拆分，使区间的两个端点逐步逼近于f（x）=0，进而得到零点近似值的方法，叫做对半插值法。

读者可以自行证明的是，当波动率在（0,+∞）区间上时，无论欧式看涨期权还是看跌期权的BSM公式对于波动率都是单调增的，即波动率越大，期权价格越高。因此，可以使用对半插值法对隐含波动率进行计算。

一个简单的步骤如下，假设期权市场价格为C：

1.将波动率上下限定为0和100％，并根据BSM公式计算期权在这两个波动率下的价格。

2.取波动率的区间中值50％，根据BSM公式计算期权价格，并与期权的市场价格进行对比。(www.xing528.com)

3.假设期权市场价格C大于50％的波动率计算出的价格，将波动率区间缩小至[　50％,100％]，并取中值75％计算期权价格，反之将波动率区间缩小至[　0％,50％]，并取中值25％计算期权价格。

4.重复步骤3，直到波动率区间上下限间距足够小，即作为期权的隐含波动率完成计算。

这种算法效率不是最高的，但是在性能合格的服务器上，计算速度是可以满足要求的。

一个可能会引起读者兴趣的问题是，当隐含波动率就是被锁定在理论的上下限0和+∞时，对应的期权价格会是多少呢？

和之前各次相同的，我们仅论证欧式看涨期权，代入BSM公式可以很容易得到结论，当波动率在下限0时，看涨期权的价格为期权的实值（ST−Ke−rT），而当波动率在上限+∞时，期权价格为标的资产当前价格ST。

我们对此进行一个直观的说明。

如果标的资产的波动率为0，此时标的资产的价格是被冻结的，标的资产到期时的价格，就严格的等于目前观测到的市场价格，因此这个期权将不会有时间价值，因为时间价值来自标的资产价格在未来的不确定性，而此时标的资产价格不会变动，没有不确定性。

当标的资产的波动率为无穷大时，期权的价值不会超过标的资产价格S0。这是因为对于欧式看涨期权来说，行权价格越低对买方到期损益越有利，期权价值也越高。有什么比免费更便宜？当行权价为0时，由于标的资产价格到期肯定是大于0的，看涨期权合约等价于这项资产本身，因此看涨期权价值无论如何也不可能超过标的资产价格本身。

至此，我们从波动率维度上，对期权价值的上下限进行了一种解释。