高等数学应用基础学习指导书复习测试题六

一、选择题

1.设{un}是数列，则下列命题正确的是（ ）.

A.若收敛，则收敛

B.若收敛，则收敛

C.若收敛，则收敛

D.若收敛，则收敛

2.设有两个数列{an}，{bn}，若，则（ ）.

A.当收敛时，收敛 B.当发散时，发散

C.当收敛时，收敛 D.当发散时，发散

3.设函数 f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且 f′（x）＞0，令un=f（n），（n=1，2，…），则下列结论正确的是（ ）.

A.若 u1＞u2，则{un}必收敛 B.若 u1＞u2，则{un}必发散

C.若 u1＜u2，则{un}必收敛 D.若 u1＜u2，则{un}必发散

4.若级数收敛，则级数（ ）.

A.收敛 B.收敛

C.收敛 D.收敛

二、解答题

1.求幂级数的收敛域及和函数.

2.求幂级数的收敛域及和函数.

3.设数列{an}单调减少，无界，求幂级数的收敛域.

4.求幂级数的收敛域及和函数.

5.求幂级数的收敛半径.

6.将函数f（x）=1-x2，（0≤x≤π）展开成余弦级数，并求级数的和.(https://www.xing528.com)

7.将函数展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间.

8.将函数展开成x 的幂级数.

9.求幂级数的收敛域及和函数 s（x）.

10.求幂级数的收敛区间与和函数 f（x）.

11.求幂级数在区间（-1，1）内的和函数 s（x）.

三、证明题

1.设数列{an}，{bn}满足，且级数收敛.

（1）证明：

（2）证明：级数收敛.

2.设数列{an}满足条件 a0=3，a1=1，an-2-n（n-1）an=0，（n≥2），s（x）是幂级数的和函数.

（1）证明：s′（x）-s（x）=0；

（2）求 s（x）的表达式.

【阅读材料】

用数学计算音乐的数学家——傅里叶

也许有人会不解地问，数学和音乐有关系吗？提到数学，我们头脑里立刻会闪现出这样的词汇：枯燥、乏味、单调、冷漠，但是当说起音乐，身心就会自觉不自觉地放松起来，因为音乐给人们的印象是丰富的、有趣的，充满了想象和热情等.总之，音乐和数学好像是绝缘的，风马牛不相及的，这是因为数学是研究现实世界空间形式数量关系的一门科学，而音乐是研究音响形式并对其进行控制的艺术.但是，还有人们不知道的是，数学和音乐都在使用所有科学艺术中最抽象的符号，不过，它们处于人类精神活动的两端，而其他所有的创造性精神活动都在这两个对立点之间的范围内展开.

古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯曾说过：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系.”德国哲学家、数学家莱布尼兹也认为：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的.”音乐的美和数学密不可分，数学与音乐一样，也能够唤起人们的美感和情趣.世界上哪里有数学，哪里就有美的存在.音乐和数学是抽象王国里怒放的两朵奇花，通过这两朵花，人们便把握了人类创造的各种精神文明财富.爱因斯坦开玩笑地说：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成.”数学家在创造时，情感、意志等审美元素也参与进来，使得数学概念、公理、定理和公式能像音乐、戏剧、电影等一样，令人获得美的享受而陶醉其中.

因此，一直以来，人们都想探究数学与音乐的关系到底如何，研究音乐和数学的关系在西方也就成为一个非常古老而热门的课题.从古代的毕达哥拉斯学派到现代的计算机科学家，都曾或多或少地留意声和数的关系并受到它的影响.傅里叶、开普勒、伽利略等人都曾钻研过数学与音乐之间的奥秘.

傅里叶（1768—1830）出生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭.他9 岁时父母双亡，之后，被当地教堂收养，12 岁时一主教将其送入地方军事学校读书.傅里叶17 岁时回乡教数学，1794年到了巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教；1798年随拿破仑军队远征埃及，深得拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长.由于对热传导理论的贡献，傅里叶于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书.

傅里叶的主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论.1807年他向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，在文中，他推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.他的著作《热的解析理论》已成为数学史上一部经典性的文献.这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，这也使三角级数后来以傅里叶的名字命名.因此，《热的解析理论》影响了整整19世纪一个世纪的分析严格化进程.

傅里叶对数学和音乐都很精通.经过多年的研究，他用一套数学理论，证明了包括管乐和器乐在内的所有乐声都可以用数学表达式进行描述.因为每一声音都包括音调、音量和音色，所以人们可用这三种品质以图解的形式对声音加以描述和区分，其中音量由曲线的振幅决定，音调由曲线的频率决定，音色由周期函数的形状决定.傅里叶解释了为什么有一些音符合奏时发出的声音悦耳动听，而有些音符配在一起却不成曲调.他把隐藏在音乐里的数学关系揭示了出来，从而成为历史上第一个用数学来计算音乐的人.由此，他提出了一个定理：任何周期性声音（乐音）都可以表示为简单的正弦函数之和.这就是著名的“傅里叶分析”，它也被称为音乐的“谐波分析”.

如今，傅里叶分析在现代数字符号处理等应用中发挥了重要作用，它把难以处理的时域信号转换成易于分析的频域信号，是信号处理领域中一种很重要的算法.