裂尖应变场原位实验研究成果

电子显微图像可以分解为不同晶面组的晶格条纹像，这些晶格条纹像的交叉点处对应于沿着电子束入射方向的原子柱或原子柱在该方向上的投影。在高分辨率透射电子显微镜图像中测量变形就是指测量这些原子柱的相对位置及位置变化。几何相位分析就是从一幅高分辨率透射电子显微镜图像中提取两组不同晶面组的晶格条纹图像并计算其相位图，再根据相位与应变场的关系得到每组晶面的变形量，最后利用弹性理论把两组晶面的变形量合成为平面内全场变形量。

一幅完整的晶体电子显微镜图像可用傅里叶级数展开为^[173]

式（4-1）中，I（r）是图像中位置r处的强度，g表示未变形晶格的倒格矢，H_g（r）是局部傅里叶系数。H_g（r）可在傅里叶空间通过滤波得到，可以写作

式（4-2）中幅值A_g（r）描述了晶格条纹的局部衬度，相位P_g（r）描述了晶格条纹的位置。

把式（4-1）按照式（4-2）定义的相位P_g和幅度A_g来表示，同时将其应用到一幅傅里叶系数具有共轭对称的实图像中，可得到下式：

这是实型函数的傅里叶变换的另一种写法。由式（4-3）可得一组特定晶格条纹的强度图像B_g（r）。

B_g（r）=2A_g（r）cos[2πg·r+P_g] （4-4）

这是对原始图像进行布拉格滤波产生的图像（在傅里叶变换图像中的±g衍射斑点附近放置掩模），在晶格条纹存在变形时，共轭对称关系仍然成立，即

H_-g（r）=H_g^∗（r） （4-5）

布拉格滤波采用如下布里渊区掩模：

则布拉格滤波后的图像可以表示为

B_g（r）=2A_g（r）cos[2πg·r+P_g（r）] （4-7）

式（4-7）是几何相位图像概念的出发点，此处只考察相位图像P_g（r）。

根据缺陷动力学散射理论^[213]，晶体缺陷附近存在位移场u（r）：

r→r-u（r）

则根据式（4-4）有：

B_g（r）=2A_g（r）cos[2πg·r-2πg·u（r）+P_g] （4-8）

将式（4-8）和式（4-7）做比较，并且忽略任意常数相位P_g，可得

P_g（r）=-2πg·u（r） （4-9）

式（4-9）给出了位移场u（r）与几何相位P_g（r）之间的关系，它是几何相位分析的核心。如果已知几何相位P_g（r），就可以通过式（4-9）计算出位移场u（r）。

具体操作时，首先计算电子显微镜图像强度I（r）的功率谱，将功率谱中心点指向一个衍射斑点的矢量选作倒格矢g，然后做布拉格滤波，这等价于在式（4-1）中只选择一项，滤波之后得到的反傅里叶变换复数图像为

布拉格滤波图像强度B_g（r）、振幅A_g（r）和几何相位P_g（r）都可通过该图像计算，具体如下：(www.xing528.com)

B_g（r）=2Re[H′_g（r）] （4-11）

A_g（r）=Mod[H′_g（r）] （4-12）

P_g（r）=Phase[H′_g（r）]-2πg·r （4-13）

P′_g（r）=Phase[H′_g（r）] （4-14）

其中Re表示实部，P′_g（r）表示原始几何相位图像。

在实际应用中，在倒空间中使用的掩模并不是式（4-6）定义的布里渊区掩模。为了降低噪声和平滑图像，常使用Gaussian掩模，即

由式（4-9）可知，相位图P_g（r）给出了倒格矢g方向的位移场u（r）的分量，因此通过联合两组晶格条纹的相位信息就可以计算出矢量位移场（假设倒格矢g₁和g₂不共线）。根据式（4-9）可得：

P_g1（r）=-2πg₁·u（r）=-2π[g_1xu_x（r）+g_1yu_y（r）] （4-15）

P_g2（r）=-2πg₂·u（r）=-2π[g_2xu_x（r）+g_2yu_y（r）] （4-16）

式（4-15）和式（4-16）可以表示为矩阵形式，即

所以位移场的矩阵形式可表示为

引入由倒格矢g₁和g₂定义的实空间晶格中的基矢量a₁和a₂，令

则有G^T=A^-1（这里的T表示矩阵的转置），将A和G代入式（4-18）得：

式（4-19）对应的矢量形式为

可见，根据式（4-20），通过测量两幅相位图就可计算出矢量位移场。

由几何相位计算出位移场之后，晶格的局部畸变可通过位移场的梯度给出。位移场的梯度可用2×2矩阵e表示为

由这一矩阵可以计算出局部应变张量ε和局部刚体转动张量ω分别为

联立式（4-21）、式（4-22）和式（4-23），可得平面应变张量ε为

刚体转动张量成分ω_xy为

目前，几何相位分析方法主要应用于对高分辨率透射电子显微镜图像进行应变场的测定。实际上，该方法可以应用到任意具有周期性网格的图像中^[214]。