函数f（x）的极限求解方法-实用微积分

请看下面两个例子.

（1）讨论当x→0 时，函数f（x） =x2+1 的变化趋势.

由图2-9 可看出，当自变量x沿横轴从0 的两侧趋近于0，即x→0 时，对应曲线上的动点M（x，y）沿着曲线无限靠近定点M0（0，1） ，即函数值无限趋近于常数1.此时说，当x→0 时，f（x） →1.

图2-9

图2-10

（2）讨论当x→1 时，函数的变化趋势.

函数f（x）的定义域为（-∞，1） ∪（1，+∞），由图2-10 可看出，尽管该函数在x=1 处没有定义，但当x无限趋近于1，即x→1 时，函数值f（x）无限趋近于常数2，即f（x）→2.通过本例的讨论可知道，x→x0时函数f（x）的变化趋势与f（x）在x0处是否有定义并无关系.

定义4 设函数f（x）在x0的某一空心邻域U（x^0，δ）内有定义.当自变量x在U（，δ）内无限趋近x0时，相应的函数值f（x）无限趋近一个确定的常数A，则称A为x→x0时函数f（x） 的极限，记作

【例3】 利用图象考察下面几个函数当x→x0时的极限.

（1） f（x） =C（C为常数）；（2） f（x） =x；（3） f（x） =sinx.

图2-11

图2-12

解 （1）由图2-11 可看出，当x→x0时，f（x）的值恒等于C，所以

（2）由图2-12 可看出，当x→x0时，f（x）的值也无限接近于x0，所以

（3）由图2-13 可看出，当x→x0时，f（x）无限接近于sinx0，所以

对于函数(www.xing528.com)

图2-13

自变量x→x0是以任意方式趋于x0的，既可以从x0的左侧趋于x0，又可以从x0的右侧趋于x0，但有时只能或只需考虑仅从x0的左侧趋于x0（记作x→x-0） 或右侧趋于x0（记作x→x+0）.类似地，有如下的极限定义.

定义5 设在x0的某左半邻域（x0-δ，x0） （或者右半邻域（x0，x0+δ）） 内函数f（x）有定义，且当自变量x在此半邻域内与x0无限接近时，相应的函数值f（x）无限趋近一个确定的常数A，则称A为函数当x→x0时的左（右） 极限，记作

【例4】 考察绝对值函数f（x） =|x|当x→0 时的极限.

解 作出该函数的图象.

【例5】 考察符号函数

图2-14

当x→0 时的极限.

练 习2-2

1.通过作图，考察下列函数的极限是否存在？如果存在，写出极限值.

2.通过列表，考察下列数列的极限是否存在？如果存在，写出极限值.

习 题2-2

1.通过作图，考察下列函数的极限是否存在？如果存在，写出极限值.