1.曲边梯形的面积
一般地，如何计算由连续曲线y=f（x）（≥0）、x轴、直线x=a、直线x=b（a ＜b）所围成的曲边梯形的面积，是一个古老而具有实际意义的问题.由于曲边梯形底边上各点处的高f（x）在区间[a，b]上是变动的，因此曲边梯形的面积A不能直接使用矩形面积公式计算，但曲边梯形的高f（x）在区间[a，b] 上是连续变化的，如果曲边梯形的底边很窄，则f（x）变化很小，可以近似地看作不变.因此，可以先把[a，b] 划分成许多小区间（图4-1），那么曲边梯形也相应地被划分成许多小曲边梯形.每一个小曲边梯形的面积可以用一个与其相对应的小矩形的面积来近似代替，小矩形的高可以用每个小区间上其中某点处的高来近似代替，小矩形的宽就是小区间的长度，这样就以这些小矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值.显然，区间[a，b] 分割越细，这种近似的精度就越高，当每一个小曲边梯形的宽（即小区间的长度） 都趋向于零时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.
（1） 分割——分曲边梯形为n个小曲边梯形.
在区间[a，b]内任意插入n -1 个分点，使a=x0＜x1＜x2＜… ＜xi-1＜xi＜… ＜xn-1＜xn=b.
得到n 个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，记Δxi=xi-xi-1，则Δxi为第i（i=1，…，n）个小区间的长度.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.
（2） 取近似——用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
图4-1
以上求曲边梯形面积的方法，可以概括成：化整为零取近似（局部以直代曲或以常量代变量），再聚零为整取极限.(www.xing528.com)
2.变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，已知速度υ（t）是时间间隔[T1，T2]上的一个连续函数，求T1到T2这段时间内物体通过的路程S.由于物体作变速直线运动，因此不能以物体在某一时刻的速度代替[T1，T2]这段时间内的速度，但已知速度函数是连续的，可以采用处理曲边梯形面积的类似方法计算.
（1） 分割——分整个路程为n个小段路程.
在时间区间[T1，T2]内插入n-1 个分点，使
（4） 取极限——由近似值过渡到精确值.
记n个小区间的长度的最大值为λ，即λ=max{Δti|i=1，2，…，n}，当λ→0 时，以上和式的极限就是变速直线运动的路程，即
以上两个实例有不同的实际意义，但计算这些量使用的方法是相同的，而且最终都归结为求一个具有完全相同数学结构的和式极限.抛开这些问题的具体意义，仅就表达式在数量关系上的共同特征，便抽象出定积分的定义.
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