实质蕴涵和形式蕴涵：当代中国人文大系

二、实质蕴涵和形式蕴涵

实质蕴涵（material implication）最早是由古希腊麦加拉派学者斐洛提出来的。麦加拉派学者当时已经认识到，条件命题（如果A则B）的各部分存在四种可能的组合——前件真后件真，前件假后件假，前件假后件真，或者相反，前件真后件假。斐洛认为:“在前三种情况下，条件命题是真的（……），而仅仅在一种情况下它是假的，即只要前件真而后件假。” ⁽⁹⁾斐洛还说:“一个正确的条件命题是一个并不开始于真而结束于假的命题。” ⁽¹⁰⁾很明显，斐洛认为，一个条件命题为真，当且仅当，并非前件真而后件假，即

可以看出，斐洛考察条件命题时，仅仅注意了命题前后件的真假与整个条件命题的真假的关系，而撇开了该命题前后件在其他方面的一切联系。这种仅仅考察条件命题前后件的真假关系的观点，在数理逻辑中被称为“实质蕴涵”。但是，斐洛的观点对后世并没有产生直接的影响，直到20世纪初，美国逻辑学家皮尔士才注意到:斐洛曾提出过“实质蕴涵”的观点，并在麦加拉派、斯多亚派内部引起了一场很大的论战。 ⁽¹¹⁾

1879年，德国逻辑学家弗雷格出版了《概念文字》一书。在这本书中，他重新独立地发现了实质蕴涵，并在逻辑史上第一次构造了一个基于实质蕴涵的一阶逻辑公理系统。由于种种原因，弗雷格的工作在当时也没有产生应有的影响。直到1910—1913年，罗素和怀特海合著的三大卷《数学原理》出版，实质蕴涵才受到逻辑学家们的广泛注意，并引起了对于它的合理性的持久而又激烈的争论。

实质蕴涵之受到非议，主要是由于下面一些定理:

意思是:真命题被任一命题所蕴涵。例如，从“雪是白的”可推出“如果2＋2＝5，则雪是白的”。

意思是:假命题蕴涵任一命题。例如，从“魔鬼当选为美国总统”可推出“如果魔鬼当选为美国总统，则太阳每天从东方升起”。

意思是:任意两个命题之间有蕴涵关系。例如，或者“上帝在虚无中创造世界”蕴涵着“哥德巴赫猜想是真命题”，或者“哥德巴赫猜想是真命题”蕴涵着“上帝在虚无中创造世界”。

意思是:如果两个命题一起蕴涵一个结论，那么，或者其中一个命题蕴涵那个结论，或者其中另一个命题蕴涵那个结论。例如，从“如果a≯b并且a≮b，则a＝b”可以推出:或者“如果a≯b则a＝b”，或者“如果a≮b则a＝b”。

对于这些定理，逻辑学家们有两种截然相反的态度。一部分逻辑学家认为，上述定理不符合自然语言中“如果……则……”的原义，不符合日常思维中的逻辑推理关系，违反人们的直觉和常识，是不可接受的，因而把它们叫做“实质蕴涵怪论”，坚持要用更适合于自然语言中“如果……则……”的意义的蕴涵去代替实质蕴涵，并为此进行了不懈的努力。但是，另一部分逻辑学家认为，实质蕴涵确实与自然语言中的“如果……则……”存在意义上的差别，但这是正常的，任何一个逻辑术语都不能完全反映自然语言中相类似概念的意义，因为后者往往带有模糊性、歧义性，甚至带有心理因素。并且，实质蕴涵在简便性方面胜过任何其他的蕴涵理论，正是建立在这个简单的实质蕴涵上面的逻辑学，已被证明是最复杂精细的数学推理的满意基础。 ⁽¹²⁾例如塔斯基就曾指出:“有人提出意见说，由于引用了实质蕴涵，逻辑学得出了悖论，甚至得出了许多纯粹的胡说。因此就有一种改造逻辑的呼声，要求使逻辑与日常语言关于蕴涵式的用法能有更大的接近。我们很难认为上面这种对近代逻辑中蕴涵式的批评，有什么充分的根据。” ⁽¹³⁾

罗素在《数学原理》中谈到所谓的“形式蕴涵”（formal implication）。他考虑了下述命题:(www.xing528.com)

（5）苏格拉底是人蕴涵着苏格拉底是有死的。

这似乎是一个省略推理，它预先假定了“所有的人都是有死的”。但罗素并不这样认为:“直接明显的是，在苏格拉底的位置上，我们不仅可以代之以另一个人，而且可以代入无论任何其他的实体。因此，在这样一种情形下，尽管表面所陈述的是实质蕴涵，而实际所意谓的是形式蕴涵。” ⁽¹⁴⁾

罗素所谓的形式蕴涵，是指下述类型的一个命题:

（6）对于x的所有的值而言，φx蕴涵着ψx。

换句话说，罗素认为，上面的语句（5）不应被理解为一个省略推理，而应被看作是与下面（7）和（8）意义相同的一个命题:

（7）一切是人的东西都是有死的。

（8）对于每一x而言，如果x是人，则x是有死的。

后来在《数理哲学导论》一书中，罗素强调指出:“所有的人都是有死的”等值于“‘x是人蕴涵着x是有死的’恒真”，也就是说:“对于所有的x而言，如果x是人，则x是有死的。”他指出:“当我们的意思是‘φx蕴涵ψx’恒真时，我们说，‘φx恒蕴涵ψx’。‘ψx恒蕴涵ψx’这种形式的命题称为形式蕴涵。” ⁽¹⁵⁾

可以看出，形式蕴涵具有这样两个特点:（a）它不是与命题而是与命题函项相关的。命题都是有真假的，而命题函项则不然。“一个‘命题函项’其实就是一个表达式，这表达式包含了一个或者多个未定的成分，当我们将值赋予这些成分时，这个表达式就变成了一个命题。” ⁽¹⁶⁾例如，“x是人”、“S是P”等都是命题函项，它们本身没有真假，只有当其中的变元（例如x、S、P）代入具体的个体或谓词，或者用量词约束起来之后才具有真假。当一个具有条件命题形式的命题函项中的个体变元被全称量词约束（如果其中含有谓词变元，则给该变项以具体的解释）后为真，则形式蕴涵关系成立。（b）形式蕴涵也坚持实质蕴涵的要求，即并非前件真后件假，但由于它所涉及的前后件是含有自由个体变元的命题函项，后者是无真假可言的，只有当用量词约束其中的变元之后才具有确定的真假，故它要求:前件实质蕴涵后件的关系对于个体变元的所有取值都成立，换句话说，对于所有的x而言，并非S（x）真而P（x）假。由此可见，形式蕴涵实际上是实质蕴涵的要求在谓词逻辑中的表现，它并不是独立于实质蕴涵的另外一种蕴涵。

根据前面所列出的五个标准，实质蕴涵具有保真性、题材中立性和普遍适用性以及简单性，但不具有内容相关性和独立性，还有人指责它有“推出过多”和“推出过少”的毛病。 ⁽¹⁷⁾这些问题作者将在本章最后一节中予以讨论。