《当代中国人文大系》：直觉主义蕴涵

五、直觉主义蕴涵

直觉主义是一套关于数学基础的哲学理论，布劳维尔是它的主要代表人物。他创造性地继承了康德的先验直观理论，把对时间的先验直觉作为数学的基础。在他看来，数学是独立于经验的人类心灵的自由创造，它独立于逻辑和语言；先验的、原始的二－一性（two－oneness）直觉构成了数学的基础。这种初始直觉把每一个生活瞬间分解为质上不同的部分，仅当其余的一切被时间分隔开时才重新结合起来。这种直觉使人认识到作为知觉单位的“一”，然后通过不断的“并置”（juxtaposition），创造了自然数、有穷序数和最小的无穷序数。任何逻辑结构都不可能独立于这种数学直觉。此外，他还持有下述基本观点:（1）不承认实无穷，只承认潜无穷。所谓实无穷，是把无穷视为现实的、完成了的总体，例如由所有自然数所构成的集合（自然数集），一线段上所有点的集合（实数集）。所谓潜无穷，只是把无穷看作是一种无休止扩展或延伸的可能性或过程，而不是一种实际得到的总体，例如作为极限概念的无穷大和无穷小。由此，直觉主义学派把从潜无穷引申出来的自然数论作为其他数学理论的基础。（2）排中律并不普遍有效。在直觉主义者看来，这至少有两个原因:一是对于有穷论域来说，原则上可以通过逐个考察论域内的个体来验证它是否满足A或者非A，因此排中律有效；但对于无穷论域来说，这样的考察是不可能实施的，故排中律无效。二是他们把“真”理解为被证明为真，把“假”理解为假设为真将导致荒谬，这样排中律在数学中就等于是说:每一个数学命题或者是可被证明的，或者假设为真将导致荒谬（即可被否证）。所以。布劳维尔说:“关于排中律的正确性问题等价于这样的问题，即是不是可能存在不可解的数学命题。” ⁽³⁰⁾而他认为，数学中不仅有迄今未被证明为真或为假的命题，而且有不可证明的命题，因此排中律失效。（3）存在等于被构造，也就是说，数学对象的存在以可构造为前提，即是说能够具体给出数学对象，或者至少是能够给出找到数学对象的程序或算法。直觉主义者把上述观点用于改造古典数学，建立构造性数学，并建立了体现构造性观点的逻辑——直觉主义逻辑。

在直觉主义者看来，一个命题为真，是指能够找到一个在有穷步内结束的证明来证明它为真；同样，一命题为假，是指能够在有穷步内证明它为假，即假设它为真在有穷步内将导致矛盾。按照他们的理解，各逻辑联结词和量词的意义如下:

（1）A∧B的证明p是一对证明p₁和p₂，其中p₁是A的证明，p₂是B的证明。

（2）A∨B的证明是一个构造，它选择A、B中的一个公式，并给出所选公式的证明。

（3）A→B的证明p是一个构造，对于A的任何一个证明q，它都指出一个B的证明p（q），并能验证p（q）是B的一个证明。

（4）A的证明就是一个A→（0＝1）的证明，即可以由任意一个A的证明得到矛盾的构造。

（5）（x）A（x）的证明是一个构造，它可从所讨论的论域中选出一个对象a并得到A（a′）的一个证明，这里a′是a的一个名称。(www.xing528.com)

（6）（Ax）A（x）的证明是一个构造，对于所讨论的定义域中的a，有一个A（a′）的证明p（a），并可验证p是满足这些条件的一个证明。

我们这里把对“A→B”的直觉主义理解表示为“A→B”（A直觉蕴涵B），它是指存在某些构造（例如p），把它与A相连接之后能产生B，也就是说，“如果A，则B”要求A与B之间有一个过程，当把这个过程与证明A的过程配合起来之后，可以证明B真。安德森和贝尔纳普在把“A→B”翻译到相干逻辑系统R和中去时，引入了命题量词，把“A→B”定义为:

意思是说，A直觉蕴涵B，当且仅当，A与某些真命题相干蕴涵B。梅耶尔在一系列论文中发展并简化了上述思想，他使用命题常项t（真）代替命题量化，把A→B定义为A∧t→B（A和真命题相干蕴>涵B）。 ⁽³¹⁾

在上述思想的基础上，直觉主义者建立起直觉主义逻辑。下述公式都不是直觉主义逻辑的定理:

由于直觉主义逻辑具有构造性特点，加上一些经典逻辑的规律如（1）至（4）在其中不成立，因此它是一种不同于经典逻辑的非经典逻辑。但由于所有直觉主义逻辑的定理都是经典逻辑的定理，因此直觉主义逻辑又是经典逻辑的一个真部分。

用我们先前所述的标准来看，直觉主义逻辑毫无疑问具有保真性，使用它从真前提只能推出真结论。它没有特别考虑所谓的内容相关性和独立性问题，因此很难说它有这两种特性。由于它拒斥排中律和反证律等日常推理中经常使用的规律，因此它在普遍适用性和简单性方面较差，有人批评说，直觉主义数学具有“缺乏力量”、“烦难”、“复杂”和“不明晰”等缺陷 ⁽³²⁾，这种批评也适用于直觉主义逻辑，因为前者就是在后者的基础上建立起来的。不过，直觉主义逻辑几乎是唯一一种被一部分数学家所使用并导致实际的数学成果的非经典逻辑。