当代中国人文大系：哲学逻辑的真理

三、哲学逻辑中的逻辑真

如前所述，哲学逻辑是一个新兴的逻辑学科群体，它包括两大子群:一是变异逻辑，由否定或修改一阶逻辑的某些基本假定而创立的逻辑分支，在形式上表现为经典逻辑的“择代系统”。二是应用逻辑，即利用已有的经典逻辑工具，去分析某些具体学科特别是哲学中的概念、范畴而建立的逻辑分支，在形式上表现为经典逻辑的“扩充系统”。这两类逻辑系统的出现，导致了对经典逻辑的有效性或逻辑真概念的相应扩展或改变，从而引发了对下述问题的争论:究竟什么样的形式系统可以算作逻辑系统？逻辑和非逻辑如何划界？逻辑有正确或错误之分吗？如果有的话，正确的逻辑究竟是一种还是多种？逻辑真理可以被修正吗？如果可以的话，如何修正？如此等等。

1.扩充系统:有效性的不同等级

可能世界语义学经过某些变形之后，可以应用于大部分哲学逻辑分支，特别是那些扩充系统，甚至可以应用于经典逻辑，这就为我们比较这些不同逻辑的有效性或逻辑真概念提供了基础。从不太严格的意义上说，它把这些逻辑的有效性概念区分为不同的层次和等级。 ⁽¹⁶⁾

可能世界语义学的中心概念是框架（frame）和模型。框架F是二元有序组〈W，R〉，其中W是可能世界的非空集，W的元素当然是各个可能世界w₀，w₁，w₂，…；R是定义在W上的可通达关系。若要在框架F的基础上确定命题特别是模态命题的真假，尚需给出一个赋值V，由此得到有序三元组〈W，R，V〉，这就是所谓的“模型”。赋值V首先指定原子公式A在某一可能世界w_i上的值，然后递归生成各种复合公式的真值。这样一来，公式的真、假、必然性、可能性等都相对化了，是相对于特定的可能世界而言的；由这些概念定义的有效性（逻辑真）概念自然也相对化了，即相对于特定的模型、框架、模型类和框架类。于是，一公式的真及其有效性就有范围大小的区分。大致说来，真或有效性有以下范围或等级:

（1）在某个可能世界上真，即在一模型的某个可能世界上真。例如，令W＝｛w₁，w₂｝，R＝｛〈w₁，w₂〉｝，V（p）＝W，其他命题变元的值任定，则□p→◇p在w₁上真，在w₂上假。这是“真”的最小范围、最低等级，但它是定义其他一切语义概念的基础。

（2）在某个模型中真，即在该模型的所有可能世界上真。例如，令W＝｛w₁，w₂，w₃，w₄，w₅｝，R＝Φ，V（p）＝Φ，其他命题变元的值任定。于是，根据V（□A）的定义，□p在W中任一可能世界上真，所以◇p→□p也在W中的任一可能世界上真，这就是说◇P→□P在此模型中真。此模型因此被称为◇p→□p的模型。

（3）在某个框架上真，即对于框架的任意赋值都真。模态公式要在一个框架上真，要求框架〈W，R〉中的R满足一定的条件。例如，下述模态公式D、T、B、4、分别要求R满足延续性、自返性、对称性、传递性、欧几里德性。框架〈W，R〉中的R具有延续性，我们就将此框架叫做延续框架，相应地有自返框架、自返且对称的框架，如此等等。可以证明，D在任一延续框架、T在任一自返框架、B在任一对称框架、4在任一传递框架、在任一欧性框架上真。

应该注意的是，由于“在框架上真”要求对框架上的任一赋值都真，而“在模型中真”只要求对相应框架上的某个赋值为真，因此前者强于后者:凡在某框架上真的公式，在与此框架相应的模型上也真，但反之不然。举例来说，令W＝｛w₁，w₂，w₃｝，R＝｛〈w₁，w₂〉，〈w₂，w₃〉，〈w₁，w₃〉｝，V（p）＝W，其他命题变元的值任定。根据赋值定义，p在W中任一可能世界上真，故□p→p亦在W中任一可能世界上真，即□p→p在上述模型〈W，R，V〉中真。但若将V改变为V′:V′（p）＝｛w₂，w₃｝，其他命题变元的赋值任定。则在w₁中□p真而p假，故□p→p亦假，即□p→p不在〈W，R，V′〉中真，此模型因此被称做□p→p的一个反模型。由于□p→p不对上述框架〈W，R〉上的任意赋值真，所以此公式不在上述框架上真。

（4）在某个模型类中真，即在该模型类的每一模型的每一可能世界上真。这实际上是“在模型中真”的概括:把一公式在其中真的那些模型聚集在一起，就得到该公式在其中真的模型类。由于模型M＝〈W，R，V〉是带赋值的，在模型M中真实际上是对与M相应的框架〈W，R〉上的某个赋值真，因此，“在模型类中真”也就是对与该模型类中每一模型相应的框架上的某个特定赋值真。

（5）在某个框架类中真，即对该框架类中任一框架上的任一赋值真。同理，这也是对“在框架上真”的概括。并且，凡在特定框架类中真的公式，都在相应的模型类中真；但在某个特定模型类中真的公式，不一定在相应框架类中真。

（6）普遍有效，即在所有框架所组成的框架类，或者说在所有模型所组成的模型类中真。经典逻辑的定理都是在这个意义下真的公式。

以上是对于不同层次的“真”的定义，实际上也是对不同层次的“有效性”的定义，也许（1）除外。因此，“在模型中真”、“在框架上真”、“在模型类中真”、“在框架类中真”分别被更明确、更恰当地称做“模型有效”、“框架有效”、“模型类有效”、“框架类有效”。实际上，在（1）“可能世界上真”与（2）“模型有效”之间，还可以插入一个层次。

（7）弱模型有效:即不在该模型的所有可能世界上真，而在该模型的可能世界集W的某个子集W′所包含的所有可能世界上真。对于刻画某些非正规的模态逻辑系统以及某些经典逻辑的“择代系统”来说，弱模型有效性是十分必要和重要的。由弱模型有效派生的概念有:弱框架有效、弱模型类有效、弱框架类有效。

实际上，“模型类有效”与“模型有效”，以及“框架类有效”与“框架有效”分别是同一层次的概念。于是，上述对“真”或“有效性”的定义和说明可以区分为五个层次或等级:

只有经典逻辑和个别扩充系统如模态系统K的定理是普遍有效的，大多数扩充系统的定理都只是模型类有效和框架类有效，有些非正规系统以及某些经典逻辑的“择代系统”还只是弱模型类和弱框架类有效。是否这些系统在相应解释下有效的所有公式都是逻辑真理？若如此，则大大突破了经典逻辑的逻辑真的范围，从而使逻辑真理在“真”的范围和程度上出现了很大的差别，由此引出一系列严重的问题，诸如逻辑真理是否仍是普适的？逻辑真理是否仍是题材中立的？如此等等。

2.择代系统:冲突和挑战

变异逻辑是作为经典逻辑的“择代系统”出现的，它们否定或修改了经典逻辑的一个或多个假定。例如，多值逻辑就是由否定二值原则而创立的逻辑，它允许命题取真、假之外的其他值如“不定”等，甚至允许命题在［0，1］区间内任取有穷多值甚至无穷多值。 ⁽¹⁷⁾这里以乌卡谢维奇的多值逻辑系统为例。若其中命题可取值的数目为n，则称相应的逻辑为n值逻辑。显然，经典逻辑是n＝2的逻辑，记为L₂；乌卡谢维奇的多值逻辑是n≥3的逻辑，记为L_n。一般性地研究L_n与L₂的关系，可以得到下述结果:

（1）若不改变经典逻辑重言式的定义，则L_n重言式必为L₂重言式，但L₂重言式不一定是L_n重言式。并且可以肯定地说，某些L₂重言式如排中律、矛盾律等，在L_n中不成立。

这里以乌卡谢维奇的三值逻辑为例。乌氏在研究亚里士多德逻辑时，碰到了“明天将要发生海战”这样的涉及未来偶然性的句子。他认为说这句话时，它既不真也不假，只是可能或不定。于是，一个命题可取三个值:T（真）、F（假）、I（不定）。乌氏按照下述原则建立了他的三值逻辑系统:

1）三个真值按照真值度大小排列为T、I、F。

2）如果一个命题的值已知，则其否定式的值是该命题的值的“对立面”:(www.xing528.com)

3）合取式的值是它的各变项中真值最小的一个。

4）析取式的值是它的各变项中真值最大的一个。

5）“p→q”的值与“p∨q”的值相同，只有一个例外，就是规定“I→I”的值为T，以确保“p→p”的值为T。

6）“p→q”的值与“（p→q）∧（q→p）”的值相同。

研究表明，上述L₃与L₂的关系如下:

第一，若不改变重言式即永真式这一定义，则L₃重言式必为L₂重言式。这是显然的。设A为L₃重言式，我们只需要在L₃关于A的真值表中删去中间值I的输入及相应的真值输出，就得到L₂关于A的真值表。因为前者是重言式，故后者必为重言式。

第二，L₂的重言式在L₃中不会为假，但是却可以取中间值I。所以L₂重言式在L₃中并不一般地成立。这是因为一个重言式，不论其中变项代表什么命题，都必须为真。特别地，二值逻辑的排中律p∨p在L₃中不成立。若按语义表述，经典排中律所说的是:任一命题要么真要么假，不存在第三种可能。它有如下推论:

推论1　p和p两者中至少有一真。

推论2　p为真当且仅当其否定p为假。

在L₃中，排中律及其推论1肯定不成立，因为当p取I值时，p∨p也取I值。但推论2却可以成立，这从“p”的真值表也可以看出。

第三，L₃中分别仅含联结词，∨，∧的公式，当其所有变项都取值I时也必取值I。这表明，这类公式不可能是矛盾式，也就是说，不论其中变项取什么值，该公式不可能恒取值为假。特别地，二值逻辑中的矛盾律（p∧p）在L₃中不成立。经典矛盾律是指下列要求:应把“p∧p”作为逻辑矛盾加以排除；或者，应把“（p∧p）”作为逻辑真理加以接受。它有如下推论:

推论1　p和p两者必有一假。

推论2　p和p不能同时为真。

推论3　有关某命题同时既采取某个真值又采取另一个不同真值的说法为假。

在L₃中，经典矛盾律及其推论1和推论3不成立，但推论2却可以成立。这也可以从“p”的真值表中看出来。

（2）若把重言式重新定义为不取值F的公式，则L₂重言式集不会有任何改变，因为在L₂中一公式不取值F，它必取值T。但在L₃中，其重言式集却大大扩充，虽然L₃重言式还是L₂重言式，但有些三值逻辑的重言式可能不是L₂重言式。例如，我们可以在赖欣巴赫的三值逻辑中，选取具有下表所示性质的完全否定～和蕴涵｜→作为基本联结词:

并且取下述唯一一条推理规则:

分离规则　从A和A｜→B可推出B。

构成三值系统R｜→。在R｜→中，考虑排中律的否定～（p∨～p），我们有:

即～（p∨～p）不取值F，故按新的重言式定义，此公式为重言式，而它显然不是L₂重言式。有人指出:“这一结论表明:多值逻辑不仅有与经典逻辑不同的解释，它还可以有经典二值逻辑不具备的推理作用。例如，对于R｜→，由于它的公理可以取值T或I，它就可以保证，当作为推理前提的命题取中间值时，推理能够无矛盾地进行。这样，R｜→就可以用来作量子力学的推理工具。” ⁽¹⁸⁾

综上所述，在变异逻辑系统中，有些有效公式或定理不是经典逻辑的有效公式或定理；并且，有些经典逻辑的有效公式或定理不再是变异逻辑的有效公式或定理。于是，两者的有效公式集或定理集就发生了相互抵触的情况。例如，排中律和矛盾律在经典逻辑中普遍有效，在有些变异系统中不再普遍有效。问题产生了:排中律、矛盾律究竟是不是普遍有效的呢？经典逻辑和变异逻辑究竟谁是正确的？抑或两者都是正确的？为什么？有一种看法认为，经典逻辑和变异逻辑其实并不冲突，因为它们各自对相应的联结词给予了不同解释，各自在谈论不同的东西，因而是不可比较的。我不同意此种观点，认为变异逻辑实际上是对经典逻辑的逻辑真概念的一种突破和挑战，将在本章最后一节论证这一点。