纳什均衡的存在性的分析介绍

用均衡来预测参与人的行为，这是博弈方法的基本思路。这样就涉及到了一个问题。规定一种均衡，如果在很多博弈中都不存在这种均衡，那么，意义就不大了。如前面提到的占优均衡。虽然，存在占优均衡时，用其预测参与人的行为或策略可能比较容易接受，然而大多数博弈不存在那种均衡。博弈分析仍然要关注行为的预测。因此，引入一个既有意义，又广泛存在的均衡概念是十分必要的。

前面的章节已经看到，占优均衡是最强的均衡概念，严格劣策略反复消去法得到的均衡不一定是占优均衡，但严格占优均衡必是严格劣策略反复消去均衡。一般的纯策略纳什均衡包含了占优均衡与严格劣策略反复消去均衡。而纯策略纳什均衡是混合策略纳什均衡的特例，所以在完全信息静态博弈中，混合策略纳什均衡是最普遍的均衡概念。

纯策略纳什均衡不存在也很普遍，然而在混合策略纳什均衡的意义下，已经被证明，这是一种普遍的均衡，在较宽泛的条件下，可以保证混合策略纳什均衡的存在性。下面简要介绍这方面的内容。

定理2.7.1 在n人策略式博弈中，如果每个参与人的纯策略空间Si是欧氏空间上的一个非空、有界的闭凸集。（凸集：集内任意两点的连线在集内），支付函数ui（s）是连续函数，且对si是拟凹的，（函数拟凹是0＜λ＜1时，ui（λsi1＋（1－λ）si2， s－i）≥min（ui（si1，s－i），ui（si2，s－i））），那么在这一博弈中存在纯策略纳什均衡。

定理中拟凹是凹函数的推广，直观地可理解为，任一线段上的函数值比端点中较少的函数值大。

运用数学不动点定理，纳什证明了下面的定理。

定理2.7.2 每一个有限博弈，或是混合策略纳什均衡，或纯策略纳什均衡必然存在。

纳什均衡存在性的证明要用到不动点定理，不动点定理是指，在定义域c⊂Rn中的非空紧凸集上的连续自映射即自变量在c中，函数值也在c中的连续映射，则存在x0∈c，使x0＝f（x0）。

下面对纳什均衡的存在性作一般性的说明，对证明的思路作一概括。

如果p＝（p1，p2，…，pn）是n个参与人的博弈中的一个混合策略。考虑i的期望效用Ei（pi，p－i）。(www.xing528.com)

我们来看参与人i是否可以通过改变混合策略的概率分布使自己的收益提高，显然，对参与人i的某一纯策略sij，如果Ei（sij，p－i）＞Ei（pi，p－i），这意味着这一纯策略比pi的混合策略能获得更大收益，这种策略称为有优势的纯策略。我们可以提高它的概率，以使收益增加。当然，有可能多个纯策略比混合策略好，而在这些纯策略上提高概率对收益提高是有好处的。所以我们可以构造一个新的混合策略。这一混合策略在有优势的纯策略上提高概率。比如参与人i有三个纯策略si1，si2，si3，而，如果Ei（si1，p－i）＞Ei（pi，p－i），Ei（si2，p－i）＞Ei（pi， p－i），这时可把分配在第三个纯策略中的概率取出，分配到si1，si2上，变成p1＋，这时必有Ei（pi＋Δpi，p－i）＞Ei（i，p－i）。

有优势的纯策略增加概率的方法很多，可选用下面方法：没有优势的纯策略，概率增加的比例为0，而有优势的纯策略用Ei（sij，p－i）－Ei（pi，p－i）的比例增加概率，即可定义Φij＝max｛0，Ei（sij，p－i）－Ei（pi，p－i）｝，这样可以把pij修正为pij＋Φij。由于Φij≥0，所以pij＋Φij对j求和会大于1，这不能成为概率分布，但可用归一化法来处理。令

对所有的i，j，上式的关系构成了混合策略空间内的一个变换。我们可以想像，从p调整到p，每个人都更接近反应函数。如果这一过程不断进行下去，可以得到纳什均衡。

这是一般构造迭代算法的思路，是否能获得纳什均衡呢？应用不动点定理可证明：存在p＊＝（p＊1，p＊2，…，p＊n），使下式成立

可以证明，上式的（pij）＊就是混合策略纳什均衡。

上面的解释，不但说明了混合策略的存在性。有兴趣的读者，还可以用以上思路编写算法。

所以，我们可以看到。混合策略的存在性是普遍的。

关于纳什均衡的数量，我们在前面的例子中既见过有限的，也见过无限的。所以比较复杂。然而已证明了所谓的奇数定理：几乎所有的有限博弈都存在奇数个纳什均衡。或是纯策略或是混合策略纳什均衡，如一个有限博弈有两个纯策略纳什均衡，则至少有一个混合策略纳什均衡。