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高中生数学解题思维培养策略

时间:2023-05-07 理论教育 版权反馈
【摘要】:在数学中我们要首先重视正向思维的训练,同时要加强逆向思维的训练。

高中生数学解题思维培养策略

四、培养高中生有效的数学解题思维的策略

1.多做变式练习,形成思维的严密性

在数学教学中,我们应随时注意哪些地方容易形成思维定势,从而及时采取措施加以克服,使学生在面对新的问题情境时,能依据新的信息,及时调整思路,避免走进死胡同的被动局面,使思维过程灵活。为了克服这一影响思维灵活的障碍,人们作了许多有益的探讨.实践表明,多作变式变形训练是一个有效的措施。变式变形,就是不断变换问题的条件、结论,或变换其形式和内容,得出不同水平的问题。在这些问题的发展和深化中,使学生能从不同角度不同侧面来理解问题的实质。通过解决这些问题,可以使学生灵活应用所学知识,使原有的孤立的零碎的知识整体化,带动学生形成思维的严密性。

例:在椭圆img157=1上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直。

变题1:对任何椭圆img158=1,是否都能在其上找到一点Q(x,y),使它与两个焦点的连线互相垂直。

变题2:已知椭圆img159=1,F1,F2为其左右焦点,且|PF 1|•|PF 2|=40,求∠F1PF2的大小。

变题3:已知椭圆img160=1,F1,F2为其左右焦点,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,求ΔF1PF2的面积。

变题4:已知椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=img161,F1,F2为左右焦点,P是椭圆上一点有|PF 1|•|PF 2|=img162,且∠F1PF2=60°,求椭圆方程。

设计连续的变题,逐步递进的练习,使一些难度大,知识覆盖面广的问题中的隐含条件和隐含问题明朗化,由于题组中各问题之间知识点相关联,不仅帮助学生分散了难点,而且有利于培养学生思维的连续性、灵活性。精心设计习题,引导学生进行多方位的发散思维,激发思维的主动性,积极性,培养学生思维的深刻性、独创性,对发展学生思维能力,提高学生灵活运用知识,正确解决问题的能力是很有帮助的。

2.加强逆向思维的培养

逆向思维在数学教材中可谓无所不在,运算与逆运算,函数与反函数,分析与综合,顺证与反证都为逆向思维的培养提供了丰富的材料,因而对逆向思维的培养要贯穿于教学过程中。教师要引导学生体会逆向思维的重要性,要认识这是与数学解题有密切联系的思维形式,在教学中要重视互逆概念的比较,重视互逆公式的使用,结合教材,加强分析法、反证法待定系数法等重要方法的训练,以揭示逆向思维的解题规律。

例:100个人站成一行,自1起报数,凡报奇数者离队,留下的再次自1起报数,凡报奇数者又离队,这样反复下去,最后留下一个人,问这个人第一次报数为多少?

解法探求:若按问题原程序,第一轮报数后划掉被淘汰者,第二轮报数后又划掉被淘汰者,如此下去要不了几轮就被搅乱了阵线。现逆转程序思考,最后被留者在倒数第1轮必2,在倒数第2轮必4,在倒数第3轮必8…,于是极易得出倒推过去此人报的是16,32,64。即第一轮报考64。

在解题过程中,若正向思维受阻就应考虑逆向探求,正难则反。在数学中我们要首先重视正向思维的训练,同时要加强逆向思维的训练。在解题训练中培养学生双向思维的意识,有利于解题思路的开拓。

3.重视培养学生数形结合的解题能力

数与形是数学中的两种表现形式,数是形的深刻描述,而形是数的直接表现。因此,在某种特定的条件下,数与形可以互相转化,互相渗透,“数”的问题可以转化“形”的问题进行研究,“形”的问题也可以转化为“数”的问题进行探讨。有了数形结合的意识,便可优化解题过程,大大提高解题速度。

已知M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|img163}。若M∩N≠φ,求b的取值范围。

分析: 观察集合特点。集合M是斜率为1,在y轴上的截距为b的一束平行线,集合N是以原点为圆心,半径为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交点。由题意作出图形,如图:当直线y=x+b,过A(3,0)时 b=3−。当直线与半圆相切时,由点到直线的距离

由图形易知b>0

故b=img166所以,−3≤bimg167。(www.xing528.com)

著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分开万事非”。这说明,以形助数,可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化;而用数解形,借助数量的计算和分析,可使问题的解决严谨化。如能注意运用形数结合,相互补充,往往会收到事半功倍之效果。

4.强调解题过程中“算法”的思想,合理运算

在高中数学学习的过程中,不少学生常把注意力集中在逻辑思维能力的培养(当然这是完全必要的)而忽视运算能力的培养,这种倾向,极大地阻碍着数学学习质量的进一步提高,因此重视运算,加强运算能力的训练是十分重要的。而运算不仅要正确迅速,还应当合理,做到“既对又快且巧”。合理运算是一种简洁运算,它可以节省时间和精力,而且由于避免了烦琐的运算,更能保证减少错误。运算合理化,能培养观察能力、分析问题的能力,使学生思维灵活而深刻,并富有创造精神。运算合理化常常通过引入参数、寻找规律、活用公式等方法来实现。

例如:设实数x、y满足x2+(y−1)2 =1,若对满足条件的x,y,x+y+c≥0恒成立,c的取值范围是__________.

此题由已知条件中平方和为1,联想三角代换,

x=cosα,y−1=sinα,即y=1+sinα,代换之后,可得x+y=img168,利用三角函数的有界性,不难求的c的取值范围。由此可见,引入参数,进行变量代换,是一种有效、可行的运算方法。

又如,在解析几何的运算中,在进行点的坐标的运算时,常常设而不求,通过点差法、韦达定理的灵活应用,寻求条件之间的内在联系,从而快速得到结果。

5.培养学生取特值的意识,巧解选择题

虽然数学是一门严谨的学科,讲究思维的严密性,但在高考场上,要在短时间内解决一个问题,“特值法”不失为我们解决选、填题的一个好方法。

例如:

A.sinx<img170 x B.sinx>img171 x C.sinx<img172 x 2  D.sinx>img173 x 2

此题若要直接判断很困难,由于选择题有且仅有一个为真,所以只需排除错误的选项即可,而取特值便能很好的判断各个选项的正误,可取x=img174和x=img175带入选项验证,排除A、C、D。本题也可采取数形结合的方法画出正弦函数和一次函数的图像,由位置关系可以排除A、B,但C、D的判断仍然需要通过取特值排除。“特值法”虽然不是万能的,但在关键时刻有意识地进行合理应用,便能有效地节约时间,提高解题效率

总之,在高考的指挥棒下,教师要指导学生在平时的练习当中不断总结方法、技巧,有效克服各种思维障碍,认真研究思维障碍产生的根源,增强预见性和针对性,切实纠正解题过程中的错误偏差,在实践中去分析、研究、解决问题,并在学习过程中不断巩固、深化、提高,逐步培养学生有效的数学解题思维。

参考文献

[1]郭思乐.思维与数学教学[M].北京:人民教育出版社,1991。

[2]任樟辉.数学思维论[M].广西教育出版社,1996。

[3]任勇.数学学习指导与教学艺术[M].北京:人民教育出版社,2004。

【注释】

[1] 作者简介:成都七中教师,四川成都,邮编:610041

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