如何计算年金的现值和终值？

年金，通常记作A，是指在一定期间内，每隔相等的期间发生的等额的系列收支，具有连续性和等额性。年金按其收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金等几种。

1.3.1　普通年金终值和现值的计算

普通年金，又称后付年金，是指从第一期开始，每期期末发生的年金。

（1）普通年金终值，&nbsp；为年金终值系数，用符号（F/A, i，n）表示。为了计算方便，通常将（F/A, i，n）制成1元年金终值系数表，以供查询。普通年金终值F的计算公式也可写作：

F=A·（F/A, i，n）

【小案例7】

有一投资项目，在四年建设期内每年末从银行贷款50万元，贷款年利率10%，则第四年末应付本息总额是多少？

查1元年金终值系数表，（F/A，10%，4）=4.6410

F=50×（F/A，10%，4）

=50×4.6410=232.05

事实上，出借人（如银行）在放贷的过程中，会考虑到这样一种可能性：借款人有能力支付各期的利息，但在到期日可能没有足够的现金来偿还本金。如果借款人的财务状况恶化，或者金融市场紧缩，对银行将极为不利。解决这个问题的办法是建立偿债基金。所谓偿债基金，就是为了在约定的未来某一时点清偿债务或积累一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。这里，未来某一时点债务或一定数额的资金就相当于年金终值F，而分次等额的存款就是年金，所以，计算年偿债基金，就是已知年金终值和年金终值系数，求年金的问题。

根据F=A×（F/A, i，n），则有：

A=F/（F/A, i，n）

【小案例8】

江华公司5年后偿还80万元的债务，在利率为10%的情况下，从现在起每年末存入银行多少钱才能偿还这笔债务？

这是已知年金终值和年金终值系数，求年金的问题。

A=80/（F/A，10%，5）

=80/6.1051≈13.10

（2）普通年金现值是指一定时期内每期末等额收（付）款的现值之和。

被称作年金现值系数，用符号（P/A, i，n）表示。为了计算方便，通常将（P/A, i，n）制成1元年金现值系数表，以供查询。普通年金现值P的计算公式也可写作：

P=A·（P/A, i，n）

【小案例9】

骐达公司从现在起每年末可获得投资收益15万元，按年利率8%计算，5年收益的现值是多少？

查年金现值系数表，（P/A，8%，5）=3.9927

P=15×（P/A，8%，5）

=15×3.9927=59.8905

【小案例10】

骐达公司采用分期付款方式购入设备一台，价款30万元，付款期限6年，在利率10%的情况下，每年末应支付多少元？

根据P=A×（P/A, i，n），可知：

A=P/（P/A, i，n）

查年金现值系数表，（P/A，10%，6）=4.3553

A=30/（P/A，10%，6）=30/4.3553≈6.8882

1.3.2　即付年金

即付年金，是指从第一期开始，每期期初发生的年金。即付年金与普通年金的区别仅在于付款的时间不同。

（1）即付年金终值的计算

根据复利终值的计算方法计算即付年金终值，则：第一年初A的终值：A×（1+i）n，第二年初A的终值：A×（1+i）n-1，依次类推，第n年年初A的终值为A（1+i），即付年金终值F的一般计算公式为：

F=A·（1+i）n+A·（1+i）n-1+……+A·（1+i）2+A·（1+i）

根据等比数列求和公式，有：F=A×

式中被称为即付年金终值系数，它与普通年金终值系数相比，计算期数多1，系数小1.即：即付年金终值系数可记作[（F/A, i，n+1）-1]。由于年金终值系数是按普通年金终值编制的，所以在计算即付年金终值时应将其调整为普通年金终值来计算。这样，通过查阅“1元年金终值系数表”，得到利率为i，期数为（n+1）期的年金终值系数，然后减1，便得出对应的即付年金终值系数。可用下列公式计算即付年金的终值。

F=A·[（F/A, i，n+1）-1]

【小案例11】

江华公司决定连续四年于每年初存50万元作为设备改造资金，在银行利率为10%的情况下，公司第四年末取出的本利和是多少？

这是即付年金终值计算问题。

F=A·[（F/A, i，n+1）-1]

=A·[（F/A，10%，5）-1]

=50×（6.1051-1）=255.255

（2）即付年金现值的计算

即付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付款的现值之和。

根据复利现值的计算方法计算即付年金现值，则：第一期初A的现值：A，第二期初A的现值：A/（1+i），依次类推，第n期期初A的现值为A·/（1+i）n-1，即付年金现值P的一般计算公式为：

P=A+A/（1+i）+A/（1+i）2+……+A/（1+i）n-1

根据等比数列求和公式，有：

式中被称为即付年金现值系数，它与普通年金现值系数相比，计算期数小1，系数多1.即：即付年金现值系数可记作[（P/A, i，n-1）+1]。同样，计算即付年金现值时应将其调整为普通年金现值来计算。这样，通过查阅“1元年金现值系数表”，得到利率为i，期数为（n-1）期的年金现值系数，然后加1，便得出对应的即付年金现值系数。可用下列公式计算即付年金的现值。

P=A·[（P/A, i，n-1）+1](www.xing528.com)

【小案例12】

江华公司转让其商标使用权8年，每年初收到商标使用权收入50万元，假设银行利率为10%，如果在第一年年初一次性收款，则合理的定价是多少？

P=A·[（P/A, i，n-1）+1]

=50×[（P/A，10%，8-1）+1]

=50×（4.8684+1）=293.42

1.3.3　递延年金

递延年金是指若干期（假设m期，m≥1）以后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。

（1）递延年金现值的计算

递延年金现值是指递延期以后，每期等额发生的系列收支的现值之和。

假设递延期为m，年金发生期为n.介绍两种常用的计算方法。

第一种方法：先将递延年金视为n期普通年金，计算递延期末（m）的现值，然后将此现值计算调整到第一期期初。

Pm=A·（P/A, i，n）

P=Pm·（P/F, i，n）

即：

P=A·（P/A, i，n）·（P/F, i，n）

第二种方法：先将递延年金视为（m+n）期普通年金，计算（m+n）期普通年金的现值，然后扣除实际并未发生的递延期（m）的年金现值，可求出递延年金的现值。

P=A·[（P/A, i，m+n）-（P/A, i，m）]

【小案例13】

江华公司拟投资建设一项固定资产，建设期3年，使用寿命8年，预计投产建成后，每年产生收入100万元。利率为10%，计算收入的现值。

这是递延年金现值的计算问题。m=3，n=8

P=A·（P/A, i，n）·（P/F, i，n）

=100×（P/A，10%，8）×（P/F，10%，3）

=100×5.3349×0.7513≈400.82

也可以用下列方法计算。

P=A·[P/A, i，m+n）-（P/A, i，m）]

=A×[（P/A，10%，11）-（P/A，10%，3）]

=100×（6.4951-2.4869）≈400.82

（2）递延年金终值的计算

由递延年金的特征可以看出：递延年金终值的计算与递延期无关，其计算方法与普通年金终值的计算方法相同。假设递延期为m，年金发生期为n，递延年金终值的计算公式如下：

F=A×（F/A, i，n）

【小案例13】中，收入的终值为：

F=A×（F/A, i，n）

=A×（F/A，10%，8）

=100×11.4359=1143.59

1.3.4　永续年金

永续年金是指无期限地收付等额款项，由于没有终止时间，因此没有终值。其现值的计算可通过普通年金现值的公式推导而出：

当n→∞时，&nbsp；→0，故

【小案例14】

A公司是一家私营公司，现正欲转让，B公司考虑收购这家公司。A公司年平均税后收入180万元，而且近五年来，基本上未偏离平均值。当利率为10%时，比较现实的起始价格是多少？

如果B公司认为A公司的收入比较稳定，这家公司的公平价格应为无限期的未来收入的现值之和。换言之，公平的价格是年收入一定的永续年金的现值。

【总结】

以上讨论的一年一次的复利计算问题。虽然利率总是以年利率的形式出现，但并不总是按年计息。比如有的债券半年计息一次，有的贷款每月计息一次。当每年复利次数超过1时，这样的年利率是名义利率，而实际利率要高。在计算资金时间价值时，要灵活运用利率和计息期数。当i为年利率，m为年复利次数时，利率应变为i/m，计算期数应为（n·m）。举例来说，当年利率为10%，半年计息一次时，8年的年金现值系数应为：（P/A，5%，16）。

【小案例15】

如何用Excel计算年金

关于年金终值与现值的计算或者是已知年金的终值与现值反求年金都是通过年金终值与现值系数表进行的，这样便于计算，大大节省了计算的时间和工作量。但问题是几乎所有的年金终值、年金现值系数表的利率是给定的整数，比如都是按1%的整数倍增长，然而现在各种贷款利率（复利）几乎又都是非整数（1%的整数倍），比如商业银行住房按揭货款的基准利率为一年期年利率为5.76%，公积金货款利率为3.3%，5～30年期的贷款利率分别为5.94%和3.837%。对于非整数（1%的整数倍）的利率我们该如何在已知年金的终值与现值的情况下简便地计算年金呢？

在Excel中选择“插入”，再依次选择“函数”和“财务函数”，之后选择“PMT”函数，根据要求输入相应的参数即可。比如，按5.94%的贷款利率，货款期限10年，那么贷款10000元（现值），在等额本息还款方式下，现在要求每个月的具体还款数额。可以在PMT函数下的对话框内第一个参数利率（RATE）输入“5.94%/12”，即年利率为5.94%，月利率为5.949%/12；第二个参数贷款时间（NPER）输入“120个月”，即贷款10年，每年12个月，共计120个月；第三个参数贷放额（现值，PN）输入“-1000”，即贷款1000元；第四个参数终值（FV）忽略；第五个参数是预付还是后付（TYPE）输入“0”或忽略，即按揭贷款一般都在月末归还本息。如此操作，即可得到每个月的还款数额110.72元。

【小案例16】

谁是最合适的继承人

有一位大富翁，为了选择谁是他最合适的家族企业继承人，决定对他的四个儿子进行考核测试。他给每个儿子100万元，以三年为考核期限，希望他们采取一切合法手段进行投资或经营，尽可能使这笔钱增值，三年后根据他们的投资业绩或经营业绩来确定继承人。大儿子得到100万元后，将这笔钱存放在家里的保险柜后，就四处找寻最能够赚钱又没有风险的投资项目，很遗憾在三年中他始终没有找到他认为最合适的项目，因而从未动用过这100万元。二儿子则将得到的100万元立刻购买了银行理财产品，年收益率为5%，三年后获利15万元。三儿子将得到的100万元投资于某一项目，三年后亏损9万元。四儿子将得到的100万元进行抵押，再融资80万元，将180万元投资于某一投资项目，三年后获利81万元。

试分析谁最有可能成为大富翁的继承人？并评述四个儿子各自是如何使用这100万元进行投资的？他们各自面临着哪些投资风险？

我们可以看出，大富翁的四个儿子对于100万元的投资使用方式是不同的，因此，他们所面临的投资风险与所获得的投资回报也各不相同。