工人上班何时效率最高的探讨

对某企业员工的工作效率研究表明，一个班次（8小时）的中等水平员工早上8：00开始工作，在t小时后，生产的效率为Q（t）＝-t3＋3t2＋9t，试讨论该班次何时工作效率是提高的、何时工作效率又是下降的.

分析：工作效率由函数Q（t）＝-t3＋3t2＋9t决定，其提高与下降即为函数的单调增加与单调减少，本问题的讨论范围是[0，8].这是一个一元三次函数，分析其单调性需要了解用导数求单调性、极值、最值的方法.

相关知识：导数与单调性；极值；最值和凹凸性

1.导数与单调性

定理1.4.1　设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导.

（1）如果在（a，b）内，f′（x）＞0，那么函数f（x）在（a，b）内单调增加（见图1-4-1）.

（2）如果在（a，b）内，f′（x）＜0，那么函数f（x）在（a，b）内单调减少（见图1-4-2）.

注：（1）定理中的开区间换成其他各种区间（包括无穷区间）.这个定理的结论仍成立.

图1-4-1

图1-4-2

（2）如果函数的导数仅在一些离散点处为0，而在其余点处都满足定理条件，则函数单调性结论仍成立.如f（x）＝x3在（-∞，＋∞）内除x＝0外，处处有f′（x）＝3x2＞0，函数f（x）＝x3在（-∞，＋∞）内仍是单调增加的.

2.导数与极值

定义1.4.1　设函数y＝f（x）在点x0的附近有定义：

（1）如果对于点x0的附近任意的x（x≠x0），总有f（x）＜f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的极大值，并且称点x0是f（x）的极大值点.

（2）如果对于点x0的附近任意的x（x≠x0），总有f（x）＞f（x0），则称f（x0）为函数f（x）的极小值，并且称点x0是f（x）的极小值点.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

定义1.4.1告诉我们，极值只是函数在一个小范围内的最大的值和最小的值，因此，极值是函数的局部性态，而函数的最大值和最小值则是指在区域内的整体性态，两者不可混淆.

图1-4-3显示，一个函数可能有若干个极大值f（x1），f（x3）和极小值f（x2），f（x4），而且有的极小值可能比极大值还大，如f（x4）＞f（x1）.同时这些极值都不是函数在定义区间上的最值.

图1-4-3

图1-4-3还显示出，极值点处如果有切线的话，一定是水平方向的.但有水平切线的点不一定是极值点.如曲线在点x5处的切线是水平的，x5却不是极值点.

根据导数的几何意义，导数为零的点切线水平，因此把导数为零的点称为驻点.

函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，但是驻点和导数不存在的点又不一定是极值点，因为驻点和导数是不是极值点，关键看该点左右两侧的单调性是否发生变化，也就是看该点左右两侧的导数符号是否发生变化.下面给出判断极值的充分条件.

定理1.4.2　（极值判别法Ⅰ）设函数f（x）在点x0的附近连续且可导（允许f′（x0）不存在），当x由小增大经过x0点时，若

（1）f′（x）由正变负，则x0是极大值点；

（2）f′（x）由负变正，则x0是极小值点；

（3）f′（x）不改变符号，则x0不是极值点.(www.xing528.com)

利用定理1.4.2判断函数的极值时，需考查函数的驻点和导数不存在的点左右附近的导数符号，但有时比较复杂和困难.如果函数在驻点存在二阶导数，那么用二阶导数的符号会更方便一些.

定理1.4.3　（极值判别法Ⅱ）设函数f（x）在点x0处有二阶导数，且f′（x0）＝0，

（1）若f″（x0）＜0，则函数f（x）在点x0处取得极大值；

（2）若f″（x0）＞0，则函数f（x）在点x0处取得极小值；

（3）若f″（x0）＝0，则不能判断f（x0）是否取得极值.

注：对于f″（x0）＝0的情形：f（x0）可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值.例如f（x）＝-x4，f″（0）＝0，f（0）＝0是极大值；g（x）＝x4，g″（0）＝0，g（0）＝0是极小值；φ（x）＝x3，φ″（0）＝0，但φ（0）＝0不是极值.因此，当f″（x0）＝0时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断.

3.导数与凹凸性

定义1.4.2　如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的或凹的，如图1-4-4所示；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的或凸的，如图1-4-5所示.

图1-4-4

图1-4-5

定理1.4.4　设函数f（x）在区间（a，b）内存在二阶导数：

（1）若a＜x＜b时，恒有f″（x）＞0，则曲线y＝f（x）在（a，b）内上凹（凹）；

（2）若a＜x＜b时，恒有f″（x）＜0，则曲线y＝f（x）在（a，b）内下凹（凸）.

因为f″（x）＞0时，f′（x）单调增加，tanα从小变大，由图1-4-4可见曲线上凹；反之，当f″（x）＜0时，f′（x）单调减少，tanα从大变小，由图1-4-5可见曲线下凹.

定义1.4.3　曲线上上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.

问题1.4.1　解答

由Q′（t）＝-3t2＋6t＋9＝-3（t2-2t-3）＝0，得t＝3（负值舍去）.

当0＜t＜3时，Q′（t）＞0，即11：00以前工作效率是提高的；

当3＜t＜8时，Q′（t）＜0，即11：00以后工作效率是下降的.

4.导数与最值

对于闭区间[a，b]上的连续函数f（x），必定存在最大值和最小值，并且最大值和最小值只能在极值点或端点上取得.

如图1-4-6所示，x1，x2，x3是驻点，x4是不可导的但是连续的点，a，b是端点，比较f（a），f（b），f（x1），f（x2），f（x3），f（x4），其中f（x4）为最大值，f（b）为最小值.

图1-4-6

因此，只要求出函数f（x）的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值.

在实际问题中，如果函数f（x）在某区间内只有唯一的一个驻点x0，而且从实际问题本身又可以知道f（x）在该区间内必定有最大值或最小值，那么f（x0）就是所要求的最大值或最小值，不必与区间的端点值比较了.