多元线性回归理论及模型检验方法

回归分析是常用的一种统计分析方法，主要适用于研究变量间的关系以及确定变量之间的定量关系研究。根据自变量和因变量的关系，选择相应的多元回归模型，最后根据数据统计软件的模型结果，判定预测模型是否合理。一般根据R2值可直接判断模型拟合度，判断模型的合理性。同时还需要对回归模型进行检验，只有通过T检验和F检验的回归模型才是合格的多元线性回归模型。

采用多元回归分析来确定因变量和自变量间的定量关系，能够实现定量探究影响物流网络连接的因素对“一带一路”物流网络连接的作用机制。

（一）模型原理介绍

构建多元线性回归模型如下：

式中，y为被解释变量，x为解释变量。C0为回归常数，C1，…，Cn为回归系数。ε为随机误差。

现在有i个独立观测数据，代入式（9-25）得：

使用最小二乘法对模型中的参数进行估计，使得y与的误差平方和最小。

将Č代回元模型可以得到y的估计值为：

那么残差平方和为：

这是原始数据yi 的总变异平方和：(www.xing528.com)

用拟合直线可解释的变异平方和：

所以有SST=SSR+SSE。

从式（9-30）可以看出，y的变异主要是两个原因引起。一方面是x取值的不同，使得y有了系统性变异；另一方面是除x以外的其他因素影响y的变化。SSE越小，也就是残差平方和越小，那么观测值靠近回归直线越紧密，表示回归方程对原数据的拟合程度也越高，模型越贴合实际情况。

（二）模型拟合度

那么如何具体衡量观测值与回归直线之间的紧密程度，也就是测量模型拟合程度的评价指标就成为评价多元回归模型的重要指标。现在我们常用判定系数来判断回归方程对原始数据的拟合程度，数值越高，拟合效果越好。判定系数用R2表示，如式（9-31）所示：

判定系数在0到1之间，值越高则表示拟合程度越高；反之，就代表拟合度越低。当值为1时，则表明SSE=0，也就是残差为0，即拟合数据与原数据完全吻合。要想残差平方和SSE最小，就需要让残差平方和SSE对回归系数的偏导数等于0，由此我们可以得出回归系数的估计值，以及回归方程。

（三）模型检验

在拟合回归方程前，会假设y和x之间是线性关系，再进行线性回归模型拟合。但这种假设是否为真，还需要进行检验。检验主要从两个方面展开：一个是对模型的检验，检验该线性模型是否可以用于此自变量和因变量之间的关系，这就是F检验；另一个检验是对回归参数的检验，检验各个自变量是否显著影响因变量，也就是T检验。