如何选择对角预条件矩阵？

根据上面的收敛性分析，可以直接选择一个简单的Richardson类型的预条件矩阵N＝，此处，r为矩阵的谱半径，ε为一个小的正数，如0.01。此种选择下，PADMM［212］等价于原始—对偶方法［210］。对于大尺寸矩阵，直接估计它的谱半径r计算复杂度过高。为此，本节再次利用FFT与变量重排技术（实际上是对矩阵的一个置换操作）来降低计算负荷。由于傅里叶变换矩阵和置换矩阵都不改变矩阵的特征值，故可以得到

此处，是的最大奇异值。

式（7－21）为式（7－12）中的每一个频率块提供了一个预条件矩阵Nl。但是，这需要完成L次J×K大小矩阵的奇异值分解。为进一步降低计算开销，此处利用信号经FFT后的频谱能量集中于零频率附近的特点，启发性地在一个窄带低频区域ΩLF内搜索最大谱半径r，以此来替代式（7－21）在整个频域范围内为全体频率块搜索一个公共的最大谱半径。该过程可表达为(www.xing528.com)

式中，ΩLF为低频索引集合，考虑到数据的噪声污染等问题，此处取1%频谱带宽。对于分别根据式（7－21）和式（7－22）构造预条件矩阵的PCDL算法实现，后续将分别称为PCDL1和PCDL2。需要指出的是，PCDL2的收敛性取决于ΩLF能否涵盖所有矩阵块的最大谱半径。

在图7－1（a）～（d）中显示了随着算法7－3中外层迭代的进行，所有矩阵块的谱半径的分布情况。由于使用了随机数来初始化系数矩阵Z，故在开始迭代时，它们的谱表现得像白噪声，从而所有块的谱半径rl的分布也是如此。但是，随着迭代的进行，低频谱矩阵块的谱半径占优性很快展现出来。图7－1（e）中比较了使用与不使用预条件处理两种情况下，系统矩阵的条件数随迭代次数的变化情况，从中可以看出，本章的预条件处理方法可以有助于整个卷积字典学习过程保持更为稳定的数值状态。