概率分布：正态、泊松和二项分布

（一）概率

随机变量虽有波动，但不是杂乱无章，而是按照必然规律波动的。如在同样的生产和测试条件下，对14.5tex纯棉纱做单强测试，其变量仍会围绕着200g波动，变动靠近200g的机会多一些，远离200g的机会少一些。只要条件不发生变化，变量的波动范围总是和前面十分相似，而且测试所得的单强数据落在任一范围的数目在该批数据中所占的比例是比较稳定的。这个稳定的比值称为“概率”。概率这个概念是描述某随机变量出现可能性大小的一个量。变量x的概率用P（x）表示。

（二）正态分布

正态分布，又称常态分布。正态分布是连续型随机变量的概率分布之一，它在数理统计的理论和实际应用中占有很大的比例。在纺织生产中有许多随机现象的变化规律（如纱线的强力等）是服从正态分布的，特别是随机误差（或随机偏差）一般服从正态分布。

正态分布曲线的特征是中间隆起，呈悬钟形，以曲线最高点的横坐标为中心，对称地向两边快速下降（图7-11）。

图7-11　正态分布曲线图

正态分布的概率密度函数式为：

其中，-∞<X <∞。

正态分布有以下特点。

（1）分布曲线对平均值μ对称，对μ的正负均方差相等。

（2）分布曲线的形状可以由均方差值来决定。σ越小，曲线越瘦高，离散度越小；σ越大，曲线越平坦，离散度越大。

（3）曲线与x轴所围成的面积与均方差σ的关系（假设总面积为100%）如下。

在±σ范围内的比例约为68.26%。

在±1.5σ范围内的比例约为86%。

在±1.96σ范围内的比例约为95%。

在±3σ范围内的比例约为99.73%。

在±4σ范围内的比例约为99.99%。

由此可见，在一定范围（如±3σ）以外出现的概率很小，这是质量控制统计方法的基础。(www.xing528.com)

（三）泊松分布和二项分布

泊松分布和二项分布是概率分布中的另外两种分布，它们是离散型随机变量的主要概率分布。在纺织生产过程中，有些变量的分布规律满足这两种分布。

1.泊松分布　在纺织企业的生产过程中，有些变量如棉结杂质的粒数、棉网上的疵点数等离散型随机变量的分布一般遵循泊松分布。泊松分布如图7-12所示。泊松分布的概率公式为：

式中：X——变量，X=0，1，2，3，…；

λ——总体平均数；

X!——X!=1×2×3×…×X;

e——自然对数的底。

图7-12　不同λ值的泊松分布图

2.二项分布　二项分布的研究对象是总体无限有放回抽样。当研究的产品批量很大时，用二项分布来解决这类问题，其主要用于具有计件值特征的质量特征值分布规律的研究。二项分布如图7-13所示。如批产品的合格问题，对一个产品来说，不是合格品，就是疵品；疵品百分率与正品百分率之和为1，所以：

图7-13　当p=0.1时，对不同n值的二项分布图

1-疵品百分率=正品百分率

设p为疵品出现的概率，q为正品出现的概率，则：

q=1-p

独立试验n次，其中x次出现疵品，则（n-x）出现正品，由概率定理为：

其中X=0，1，2，…，n。

从图7-12和图7-13可以看出，不论是泊松分布还是二项分布，当泊松分布的λ值增大（λ>4）或二项分布的n值增大（n>4）时，其分布曲线就接近于正态分布。关于这一点，在数理统计中是一个很重要的性质，就是所谓大子样（n≥50时，称为大子样；n<50时称为小子样）的情况下，即使原来服从泊松分布或二项分布的随机变量，也常常近似于正态分布了。在数理统计上称此为渐近分布。所以，在大子样的情况下，往往可以不必追究其是否属于正态分布，均可将其当作正态分布来处理。