解决非线性规划问题的方法

1.无约束非线性规划问题

对于无约束优化问题，如果函数连续的话，一般使用fminunc函数，如果函数不连续则使用fminsearch函数，对于二次以上的问题fminsearch比fminunc函数具有更好的寻优效果。

（1）fminunc函数

1）语法：

x=fminunc（fun，x0）

x=fminunc（fun，x0，options）

x=fminunc（fun，x0，options，P1，P2）

[x，fval]=fminunc（…）

[x，fval，exitflag]=fminunc（…）

[x，fval，exitflag，output]=fminunc（…）

[x，fval，exitflag，output，grad] =fminunc（…）

[x，fval，exitflag，output，grad，hessian] =fminunc（…）

2）说明：fun为需最小化的目标函数；x0为给定的搜索的初始点；options指定优化参数。返回的x为最优解向量；fval为x处的目标函数值；exitflag描述函数的输出条件；out-put返回优化信息；grad返回目标函数在x处的梯度；hessian返回在x处目标函数的海赛矩阵信息。

例4-7 求minf=4x²+5xy+2y²。

需要先编辑myfun.m文件：

function f=myfun（x）

f=4∗x（1）^2+5∗x（1）∗x（2）+2∗x（2）^2；

取初始点：x0=（1，1），在Command Window输入：

x0=[1，1]；

[x，fval，exitflag]=fminunc（@myfun，x0）

运算结果：

x=

1.0e-005∗

0.2490 -0.4397

fval=

8.7241e-012

exitflag= 1

（2）fminsearch函数

语法：

x=fminsearch（fun，x0）

x=fminsearch（fun，x0，options）

x=fminsearch（fun，x0，options，P1，P2）

[x，fval]=fminsearch（…）

[x，fval，exitflag]=fminsearch（…）

[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（…）

[x，fval，exitflag，output，grad]=fminsearch（…）

[x，fval，exitflag，output，grad，hessian]=fminsearch（…）

参数及返回变量与fminunc函数相同。

2.多元非线性最小二乘问题

多元非线性二乘问题的数学模型为

1）语法：

x=lsqnonlin（fun，x0）

x=lsqnonlin（fun，x9，lb，ub）

x=lsqnonlin（fun，x0，options）

x=lsqnonlin（fun，x0，options，P1，P2） ′

[x，resnorm]=lsqnonlin（…）

[x，resnorm，residual，exitflag]=lsqnonlin（…）

[x，resnorm，residual，exitflag，output]=lsqnonlin（…）

[x，resnorm，residual，exitflag，output，lambda]=lsqnonlin（…）

[x，resnorm，residual，exitflag，output，lambda，jacobianl=lsqnonlin（…）

2）说明：x返回解向量；resnorm返回x处残差的平方范数值sum（fun（x）.^2）；re-sidual返回x处的残差值fun（x）；lambda返回包含x处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian返回解x处的fun函数的雅可比矩阵。

lsqnonlin默认时选择大型优化算法。Lsqnonlin通过将optidns.LargeScale设置为“off”来作中型优化算法，其采用一维搜索法。

例4-8 求minf=4（x₂-x₁）²+（x₂-4）²，选择初始点x₀（1，1）。

MATLAB代码：

f=‘4∗（x（2）-x（1））^2+（x（2）-4）^2’；(www.xing528.com)

[x，reshorm]=lsqnonlin（f，[1，1]）

结果：

x=

3.9987 3.9987

reshorm=

3.2187e-012

3.有约束非线性规划问题

有约束非线性规划数学模型为

minF（X）

s.t.G_i（X）≤0 （i=1，…，m）

G_j（X）=0 （j=m+1，…，n）

X_l≤X≤X_u

式中，f（X）为多元实值函数；G（X）为向量值函数。

在有约束非线性规划问题中，通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础。其基于K-T方程解的方法的K-T方程可表达为

G_i（X^∗）=0 （i=1，…，m）

λ_i^∗≥0 （i=m+1，…，n）

方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。由于梯度取消，需要用La-grange乘子λ_i来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。

有约束非线性问题一般用fmincon函数求解。

1）语法：

x=fmincon（f，x0，A，b）

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq）

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）

[x，fval]=fmincon（…）

[x，fval，exitflag]=fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output]=fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda]=fmincon（…）

2）说明：

x=fmincon（f，x0，A，b）返回值x为最优解向量。其中，x0为初始点；A、b为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq）作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[]，b=[]。

x=fmincon（f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）中lb、ub为变量x的下界和上界；nonlcon=@fun，由M文件fun.m给定非线性不等式约束c（x）≤0和等式约束g（x）=0；options为指定优化参数进行最小化。

例4-9 求解

minf（X）=-x₁x₂x₃

s.t.0≤x₁+2x₂+2x₃≤72

首先建立目标函数文件myfun.m文件：

Function f=ff7（x）

f=-x（1）∗x（2）∗x（3）

然后将约束条件改写成如下不等式

-x₁-2x₂-2x₃≤0

x₁+2x₂+2x₃≤72

在Command Window键入程序：

A=[-1-2-2；1 2 2]；

b=[0；72]；

x0=[10；10；10]；

[x，fval]=fmincon（@myfun，x0，A，b）

结果：

x=

24.0000

12.0000

12.0000

fval=

-3456