复杂特征值问题的求解与应用

首先，考虑只有结构阻尼（或称迟滞阻尼）的情况。系统的自由振动方程为

令[k^∗]=[k]+j[h]并假定方程的解为[x]={ϕ}e^λt，得

由于k^∗是复数，这个一般化特征方程将产生n个复特征值与n个复特征向量，并且特征值不是共轭对的形式（因为λ=a+jb和λ=a-jb不可能同时满足以上方程，除非[h]=0）。这里的特征向量虽然仍用{ϕ}表示，但不同于前面介绍的实模态向量，这里的{ϕ}为复数，一般不满足正交性条件。

在同时存在粘性阻尼的情况下，特征值方程为

式（3.47）称为非线性特征值问题，直接求解很困难。常用矩阵转换方法把它变形为标准特征值问题或一般特征值问题。

引入一个恒等式

并把（3.47）变形为

把（3.48）和（3.49）结合起来，得

现在定义

式（3.50）可写成

这是一个一般化特征值方程。由于矩阵[A]和[B]为2n×2n阶矩阵，所以方程式（3.51）有2n个特征值和2n个特征向量。矩阵[A]和[B]保持了对称性。对于粘性阻尼的情况，[A]和[B]同时是实矩阵，特征值和特征向量为复共轭对的形式。由特征值分析理论可知，这里的扩展特征向量{Φ}满足以下正交性条件，即如果r≠t，有（注意：上标T表示转置，不是共轭转置）

或者表示为以下形式

这里，[a]和[b]为对角矩阵。这里应注意：是扩展向量{Φ}满足以上正交性条件，而不是原有系统的特征向量{ϕ}。后者不能使矩阵[m]、[c]、[k]、[h]对角化，因为{ϕ}不再像实模态分析中那样相互独立。其原因是由于阻尼引起的模态耦合效应，一个模态储存与消耗的能量还与其他模态有关。

其实，在第1章的有粘性阻尼的单自由度系统分析中，已经涉及到了复特征值问题，如式（1.23）所示。这里，我们来考虑结构阻尼的情况。单自由度系统的特征方程为

λ²m+k+jh=0(www.xing528.com)

设λ=a+jb，a和b为实数，代入上式可得

这里，为无阻尼系统的固有频率，g=h/k为结构阻尼比。a必须为负，否则系统发散。正a和负b的组合仅仅是用复数来表示结构阻尼得到的数学上的结果，不具有任何实际含义。

阻尼的固有频率比无阻尼固有频率稍大，这点与粘性阻尼的情况正好相反。

最后，作为举例，计算图3.8所示的二自由度系统的复特征值问题。

m₁=2kg，m₂=2kg

k₁=1000.0N/m，k₂=1500.0N/m

c_l=10.ON·s/m,c₂=17.ON·s/m

扩展系统的特征值为

相应的特征向量矩阵为

可见，特征值和特征向量均为共轭复数的形式。可以验算以上特征向量满足以下正交性条件

如果同时存在结构阻尼，即刚性为复数，则特征值和特征向量不为共轭的形式。例如取k₁=1000.0+13.0i、k₂=1500.0+17.0i，则扩展系统的特征值分别为

-0.9807-14.4327i， -1.1649+14.4326i，

-9.6739-41.1335i， -10.1805+41.1337i

相应的特征向量矩阵为

可见，有结构阻尼时，特征值和特征向量不为共轭复数的形式，但是正交性条件依然成立。验算结果如下