瞬态响应分析:理解与应用

（1）一阶系统的瞬态响应

图3-8 一阶控制系统

可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统，这是工程中最基本最简单的系统。考虑如图3-8所示的一阶系统，它代表一个电机的速度控制系统，其中τ是电机的时间常数。

该一阶系统的闭环传递函数为

当系统输入为单位阶跃信号时，即r（t）＝1（t）或R（s）＝1/s，输出响应的拉氏变换为

取C（s）的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为

系统响应如图3-9所示。

从图中看出，响应的稳态值为

图3-9 一阶系统的单位阶跃响应

该值总是小于输入值。若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差

不可能为零。

系统的时间常数为

它可定义为系统响应达到稳态值的63.2％所需要的时间。

由式（3-9），很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系。

t＝T， c（1T）＝0.632c（∞）

t＝2T，c（2T）＝0.865c（∞）

t＝3T，c（3T）＝0.950c（∞）

t＝4T，c（4T）＝0.982c（∞）

从中可以看出，响应曲线在经过3T（5％误差）或4T（2％误差）的时间后进入稳态。

如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中的c1（t）所示，T还可定义为c1（t）曲线达到稳态值所需要的时间。因为

因此

当t＝T时，c1（t）曲线到达稳态值，即，所以

（2）二阶系统的阶跃响应

在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。因为在工程实际中，三阶或三阶以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。所以，二阶系统的瞬态响应分析就显得尤为重要。

图3-10 二阶系统

图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为

由上式可看出，ζ和ωn是决定二阶系统动态特性的两个非常重要参数，其中ζ称为阻尼比，ωn称为无阻尼自然振荡频率。任何其他的二阶系统传递函数都可化为式（3-14）形式，因此，常把式（3-14）称为二阶系统闭环传递函数的标准形式。

例如图2-2中RLC电路，其传递函数为

或

式中，无阻尼自然振荡频率，就是电路当R＝0时的谐振频率；阻尼比

又如图2-3中电枢控制的直流电动机，输出ω与电枢电压ua之间传递函数为

或

式中

由式（3-14）描述的系统特征方程为

这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为

显然，阻尼比ζ不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。

下面分别对二阶系统在0＜ζ＜1，ζ＝1和ζ＞1三种情况下的阶跃响应进行讨论。

①0＜ζ＜1，称为欠阻尼情况。

按式（3-14），系统传递函数可写为

它有一对共轭复数根

s1，2＝﹣ωn±jωd（3-18）

式中称为有阻尼振荡频率。

在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r（t）＝1（t）时，系统输出的拉氏变换为

对式（3-19）求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c（t）

它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率ωd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数ζ和ωn决定。

系统的误差则为

图3-11 欠阻尼情况（0＜ζ＜1）

当t→∞时，稳态误差e（∞）＝0。

若ζ＝0，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即

s1，2＝±jωn（3-22）

此时单位阶跃响应为

c（t）＝1－cosωnt（3-23）

它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率ωn。当系统有一定阻尼时，ωd总是小于ωn。

②ζ＝1，称为临界阻尼情况。

此时系统有两个相等的实数特征根(www.xing528.com)

s1＝s2＝﹣ωn（3-24）

系统输出的拉氏变换为

取C（s）的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。

③ζ＞1，称为过阻尼情况。

当阻尼比ζ＞1时，系统有两个不相等的实数根：

图3-12 临界阻尼情况（ζ＝1）

对于单位阶跃输入，C（s）为

将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

它由两个衰减的指数项组成。当ζ较大时，一个特征根靠近虚轴，另一个特征根远离虚轴。远离虚轴的特征根对响应的影响很小，可以忽略不计，这时二阶系统可近似为一个一阶惯性环节。

图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比ζ＝1时来得长。

图3-13 过阻尼情况（ζ＞1）

根据以上分析，可得不同ζ值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族，如图3-14所示。由于横坐标为ωnt，所以曲线族只与ζ有关。由图可见，在一定ζ值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。

图3-14 二阶系统单位阶跃响应

（3）二阶系统的脉冲响应

当输入信号为单位脉冲信号δ（t），即R（s）＝1时，二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为

对式（3-30）求拉氏反变换，得

可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。

由式（3-31），对于欠阻尼情况（0＜ζ＜1），有

对于临界阻尼情况（＝1），有

对于过阻尼情况（ζ＞1），有

图3-15表示不同ζ值时的单位脉冲响应曲线。

图3-15 二阶系统单位脉冲响应

其实，由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的导数，线性定常系统的单位脉冲响应必定是单位阶跃响应对时间的导数（证明见3.1.4）。所以上述各式均可由式（3-20）、式（3-26）和式（3-29）对时间求导数来获得。

（4）二阶系统的瞬态响应性能指标

通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。而过阻尼和临界阻尼系统的响应过程，虽然平稳性好，但响应过程太缓慢。所以，根据欠阻尼响应来评价二阶系统的响应特性，具有较大的实际意义。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，其性能指标推导如下。

①上升时间tr。

按式（3-20），令c（tr）＝1，就可求得

因此

式中

由式（3-35）可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当ζ一定，ωn必须加大，若ωn为固定值，则ζ越小，tr也越小。

②峰值时间tp。

按式（3-20），对c（t）求一阶导数，并令其为零，可得到

到达第一个峰值时

所以

上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率ωd成反比。当ωn一定，ζ越小，tp也越小。

③最大超调量σp

以t＝p代入式（3-20），可得到最大百分比超调量

由上式可见，最大百分比超调量完全由ζ决定，ζ越小，超调量越大。当ζ＝0时，σp％＝100％，当ζ＝1时，σp％＝0。σp与ζ的关系曲线见图3-16。

④调整时间ts。

根据定义可以求出调整时间ts，如图3-17所示。图中T＝1/ωn，为c（t）包络曲线的时间常数，在ζ 0.69（或0.77），ts有最小值，以后ts随ζ的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于ζ在虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。

图3-16 σp与ζ的关系

ts也可由式（3-21）的包络线近似求得，即令e（t）的幅值

图3-17 ts与ζ的关系

图3-18 ζ稍微突变引起的ts突变

或

当0＜ζ＜0.9时，则

或

由此可见，ζωn大，ts就小，当ωn一定，则ts与ζ成反比，这与tp，tr与ζ的关系正好相反。

根据以上分析，可以看出欠阻尼二阶系统瞬态响应的性能指标取决于阻尼比ζ和无阻尼自然振荡频率ωn。如何选取ζ和ωn来满足系统设计要求，总结几点如下。

a.当ωn一定，要减小tr和tp，必须减少ζ值，要减少ts则应增大ωn值，而且ζ值有一定范围，不能过大。

b.增大ωn，能使tr，tp和ts都减少。

c.最大超调量σp只由ζ决定，ζ越小，σp越大。所以，一般根据σp的要求选择ζ值，在实际系统中，ζ值一般在0.5～0.8之间。而对各种时间的要求，则可通过ωn的选取来满足。要实现这一点，一般需要对图3-10的二阶系统进行校正。