谐响应分析：原理与应用

1.谐响应分析的应用

谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术。分析的目的是计算结构在几种频率下的响应并得到一些响应值（通常是位移）对频率的曲线，从这些曲线上可找到“峰值”响应并进一步查看峰值频率对应的应力。

这种分析技术只计算结构的稳态受迫振动，发生在激励开始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑。作为一种线性分析，该分析忽略任何即使已定义的非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，但可以包含非对称矩阵，如分析流体-结构相互作用问题。谐响应分析也可用于分析有预应力的结构，如小提琴的弦（假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多）。

2.谐响应分析的求解方法

谐响应分析可以采用以下三种方法：

（1）Full（完全）方法 该方法采用完整的系统矩阵计算谐响应（没有矩阵减缩），矩阵可以是对称或非对称的，其优点如下：

1）容易使用，因为不必关心如何选择主自由度和振型。

2）使用完整矩阵，因此不涉及质量矩阵的近似。

3）允许有非对称矩阵，这种矩阵在声学或轴承问题中很典型。

4）用单一处理过程计算出所有的位移和应力。

5）允许施加各种类型的载荷，如节点力、外加的（非零）约束和单元载荷（压力和温度）。

6）允许采用实体模型上所加的载荷。

该方法的缺点是预应力选项不可用，并且当采用Frontal方程求解器时通常比其他方法运行时间长。但是在采用JCG求解器或JCCG求解器时，该方法的效率很高。

（2）Reduced方法 该方法通常采用主自由度和减缩矩阵来压缩问题的规模，计算出主自由度处的位移后，解可以被扩展到初始的完整DOF集上。

1）Reduced方法的优点如下：

①在采用Frontal求解器时比Full方法更快。

②可以考虑预应力效果。

2）Reduced方法的缺点如下：

①初始解只计算出主自由度的位移。要得到完整的位移，应力和力的解则需执行被称为扩展处理的进一步处理，扩展处理在某些分析应用中是可选操作。

②不能施加单元载荷（压力和温度等）。

③所有载荷必须施加在用户定义的自由度上，限制了采用实体模型上所加的载荷。

（3）Mode Superposition方法（模态叠加）。该方法通过对模态分析得到的振型（特征向量）乘上因子并求和计算出结构的响应。

1）该方法的优点如下：

①对于许多问题，比Reduced方法或Full方法更快。

②在模态分析中施加的载荷可以通过LVSCALE命令用于谐响应分析中。

③可以使解按结构的固有频率聚集，可产生更平滑且更精确的响应曲线图。

④可以包含预应力效果。

⑤允许考虑振型阻尼（阻尼系数为频率的函数）。

2）该方法的缺点如下：

①不能施加非零位移。

②在模态分析中使用Power Dynamics方法时，初始条件中不能有预加的载荷。

谐响应分析的三种方法有如下共同局限性：

①所有载荷必须随时间按正弦规律变化。

②所有载荷必须有相同的频率。

③不允许有非线性特性。

④不计算瞬态效应。

3.谐响应分析的步骤

下面以Full方法为例说明谐响应分析的步骤。采用Full方法进行谐响应分析的主要步骤为建模、加载并求解，以及查看结果和后处理。

（1）建模 在该步骤中需指定文件名和分析标题，然后用PREP7来定义单元类型、单元实常数、材料特性及几何模型，需注意的要点如下：

1）只有线性行为是有效的。如果有非线性单元，则按线性单元处理。

2）必须指定弹性模量EX（或某种形式的刚度）和密度DENS（或某种形式的质量）。材料特性可为线性、各向同性或各向异性，以及恒定的或和温度相关的，忽略非线性材料特性。

（2）加载并求解 在该步骤中定义分析类型和选项，加载，指定载荷步选项并开始有限元求解。需要注意的是，峰值响应分析发生在力的频率和结构的固有频率相等时，在得到谐响应分析解之前，应首先执行模态分析，以确定结构的固有频率。(www.xing528.com)

1）进入ANSYS求解器。

命令：SOLU

GUI：Main Menu＞Solution

2）定义分析类型和分析选项。ANSYS提供的用于谐响应分析的选项主要阐述如下：

①New Analysis[ANTYPE]：选择新分析，在谐响应分析中Restart不可用。如果需要施加另外的简谐载荷，可以另进行一次新分析。

②Analysis Type：Harmonic Response[ANTYPE]：选择分析类型为Harmonic Response（谐响应分析）。

③Solution Method[HROPT]：选择Full、Reduced或Mode Superposition求解方法之一。

④Solution Listing Format[HROUT]：确定在输出文件中谐响应分析的位移解如何列出，可选方式有“real and imaginary（实部和虚部）”（默认）和“amplitudes and phaseangles（幅值和相位角）”。

⑤Mass Matrix Formulation[LUMPM]：指定采用默认的质量矩阵形成方式（取决于单元类型）或使用集中质量矩阵近似。

⑥Equation Solver[EQSLV]：可选求解器有Frontal（默认）、Sparse Direct（SPARSE）、Jacobi Conjugate Gradient（JCG），以及Incomplete Cholesky Conjugate Gradient（ICCG）。对大多数结构模型，建议采用Frontal或SPARSE求解器。

3）在模型上加载。根据定义，谐响应分析假定所施加的所有载荷随时间按简谐（正弦）规律变化。指定一个完整的简谐载荷需输入三个数据，即Amplitude（振幅）、Phase Angle（相位角）和Forcing Frequency Range（强制频率范围）。

4）指定载荷步选项。谐响应分析可用的选项说明如下：

①Number of Harmonic Solutions[NSUBST]：请求计算任何数目的谐响应解，解（或子步）将均布于指定的频率范围内[HARFQR]。例如，如果在30～40Hz范围内要求出10个解，则计算频率在30Hz～40Hz处的响应，而不计算其他频率处。

②Stepped or Ramped Loads[KBC]：载荷以Stepped或Ramped方式变化，默认为Ramped，即载荷的幅值随各子步逐渐增长。如果用命令[KBC，1]设置了Stepped载荷，则在频率范围内的所有子步载荷将保持恒定的幅值。

动力学选项如下：

③Forcing Frequency Range[HARFRQ]：在谐响应分析中必须指定强制频率范围，然后指定在此频率范围内要计算处的解数。

④Damping：必须指定某种形式的阻尼，如Alpha（质量）阻尼[ALPHAD]、Beta（刚度）阻尼[BETAD]或恒定阻尼VA[DMPRAT]，否则在共振处的响应将无限大。

5）开始求解。

命令：SOLVE

GUI：Main Menu＞Solution＞Solve＞Current LS

6）如果有另外的载荷和频率范围（即另外的载荷步），重复步骤3）～5）。如果要做时间历程后处理（POST26），则一个载荷步和另一个载荷步的频率范围间不能存在重叠。

7）退出求解器。

命令：FINISH

GUI：关闭Solution菜单。

（3）查看结果和后处理 谐响应分析的结果保存在结构分析Jobname.rst文件中，如果结构定义了阻尼，响应将与载荷异步。所有结果将是复数形式的，并以实部和虚部存储。

通常可以用POST26和POST1查看结果。一般的处理顺序是用POST26找到临界强制频率模型中关注点产生最大位移（或应力）时的频率，然后用POST1在这些临界强制频率处处理整个模型。

POST26要用到结果项或频率对应关系表，即Variables（变量）。每个变量都有一个参考号，1号变量被内定为频率。其中主要操作如下：

1）定义变量。

命令：NSOL用于定义基本数据（节点位移），ESOL用于定义派生数据（单元数据，如应力），RFORCE用于定义反作用力数据。

GUI：Main Menu＞TimeHist postpro＞Define Variables

2）绘制变量对频率或其他变量的关系曲线，然后用PLCPLX指定用幅值、相位角方式或实部、虚部方式表示解。

命令：PLVAR和PLCPLX

GUI：Main Menu＞TimeHist Postpro＞Graph Variables

Main Menu＞TimeHist Postpro＞Settings＞Graph

3）列表变量值。如果只要求列出极值，可用EXTREM命令，然后用PLCPLX指定用幅值、相位角方式或实部、虚部方式表示解。

命令：PRVAR、EXTREM和PRCPLX

GUI：Main Menu＞TimeHist Postpro＞List Variables＞List Extremes

Main Menu＞TimeHist Postpro＞List Extremes

Main Menu＞TimeHist Postpro＞Settings＞List

通过查看整个模型中关键点处的时间历程结果，可以得到用于进一步POST1后处理的频率值。

使用POST1时，使用SET命令读入所需谐响应分析的结果（GUI：Main Menu＞General Postproc＞-Read Results＞…），但不能同时读入实部或虚部。结果大小由实部和虚部的SRSS（平方和取平方根）给出，在POST26中可得到模型中指定点处的真实结果，然后进行其他通用后处理。