经验模态分解方法及其问题研究

经验模态分解假设一个复杂信号可被分解为有限个瞬时频率具有物理意义的单分量信号——内禀模态函数（IMF）和一个趋势项之和。其中，IMF分量的定义满足如下两个条件[23，91]：

（Ⅰ）在整个数据段中，极值点个数与过零点个数必须相等，或最多相差不超过一个；

（Ⅱ）在数据的任一点，由信号极大值定义的上包络线和由信号极小值定义的下包络线的平均值为零。

条件（Ⅰ）的限制类似于传统的平稳高斯过程中关于窄带信号的定义；条件（Ⅱ）则把全局的限定改为局部限制，这种限制是必需的，是为了去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。条件（Ⅰ）和（Ⅱ）保证了单分量信号的瞬时频率具有物理意义。

在定义了瞬时频率具有物理意义的内禀模态函数（IMF）的基础上，Huang等提出了经验模态分解算法（EMD）[98]。

对实信号x（t）（t＞0），EMD分解步骤如下：

（1）确定信号x（t）的所有极大值点和极小值点，采用三次样条函数分别将所有极大值点和极小值点连接起来，得到信号的上包络线u（t）和下包络线v（t）。

（2）定义信号的均值曲线m1（t）为上、下包络线的平均值，即(www.xing528.com)

（3）将均值曲线从原始信号中分离，即

理想地，若h1（t）是一个IMF分量（满足一定的判据条件），则h1（t）是x（t）的第一个分量。

（4）若h1（t）不满足IMF定义条件，则将h1（t）视为原始数据，重复上述步骤（1）～（3），得到h1（t）上下包络线的平均值m11（t）。若h11（t）=h1（t）-m11（t）满足IMF的条件，则h11（t）是x（t）的第一个分量；若仍不满足，则重复循环上述过程k次，直到h1k（t）=h1，k-1（t）-m1k（t）满足IMF的定义，记c1=h1k，则c1为x（t）的第一个IMF分量。

（5）将c1从x（t）中分离出来，得到剩余信号r1（t），即

再将r1（t）作为原始数据重复以上过程（1）～（4），得到x（t）的第二个IMF分量c2；重复上述步骤n次，得到信号x（t）的n个IMF分量c1，c2，…，cn，直到rn是一个单调或极值点个数不超过三个的函数，循环结束。即

至此，原始信号x（t）被分解为如下形式：

由上述过程知，任何一个复杂信号x（t）可被分解为有限个内禀模态函数（IMF）和一个趋势项之和，其中，IMF分量c1，c2，…，cn包含了原信号从高到低不同频率段的成分。从基函数理论的角度看，对不同的信号，EMD分解出的基函数不同，因此，EMD的基不同于傅里叶分解的基和小波分解的小波基，而是依据分解数据的特征，自适应地选择基函数。EMD是一种自适应的、高效的数据分解方法，由于这种分解是以局部时间尺度为基础，因此，它能够很好地反映数据的局部特征，非常适应于处理非线性和非平稳数据，已被应用于诸多工程领域。但是，EMD方法还存在很多问题，如由三次样条拟合引起的过包络和欠包络、端点效应、模态混叠等问题，这些问题的研究虽然取得了一定的进展，但是还未被完全解决。本书在研究了瞬时频率具有物理意义的单分量信号的定义和现有信号分解方法的基础上，提出了一种新的信号自适应分解方法——局部特征尺度分解（LCD）。