线性最小方差估计简介

如果对X的估计量是观测值的线性函数,即

式中,A,b——n×m阶的矩阵和n维的向量。

在满足上式关系的前提下,以估计误差的方差阵达到最小作为最优估计准则,这样的估计方法称为线性最小方差估计,记为。该估计方法需要知道被估计值X和量测值Z的一、二阶统计特性,即E(X),E(Z),Var(X),Var(Z),Cov(X,Z),Cov(Z,X)。其估计准则为

在此省略推导过程,直接给出线性最小方差估计的结论：

(1)XLMV(Z)＝E(X)＋Cov(X,Z)(Var(Z))―1(Z―E(Z))。

(2)线性最小方差估计也为无偏估计。

(3)估计误差的方差阵为

Var(XLMV(Z))＝Var(X)―Cov(X,Z)(Var(Z))―1Cov(Z,X)

(4)推导可得,

E((X―XLMV(Z))ZT)＝Cov((X―XLMV(Z)),Z)＝0

这说明,向量X―XLMV(Z)和Z 不相关,从几何角度上考虑,即X―XLMV(Z)正交于Z。随机向量X本身与Z并没有正交关系,但是减去Z的函数XLMV(Z)后就与Z正交,因此可以认为XLMV(Z)是X在Z上的正交投影。(www.xing528.com)

在此给出正交投影的定义,即如果存在矩阵A′和向量b′,则对任意矩阵A和任意向量b均可使下式成立：

E((X―(A′Z＋b′))(AZ＋b)T)＝0

或者满足

E((X―(A′Z＋b′))(AZ＋b)T)＝E((X―(A′Z＋b′))ZT)AT＋E(X―(A′Z＋b′))bT＝0

则称A′Z＋b′是X在Z上的正交投影。

正交投影具有两条性质：

①正交投影是量测量Z和常值向量b′的线性组合,位于Z张成的空间内,该空间称为量测空间。

②正交投影是X的无偏估计,估计误差与量测空间正交。

这两条性质在讨论滤波问题时是十分重要的,将在第4章卡尔曼滤波时再次用到。

(5)线性最小方差估计只需要被估计值X和量测值Z的一、二阶统计特性,所以它比最小方差估计更实用。