水资源优化配置的动态规划模型优化

动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法，其基本思路是将多阶段决策过程转化为一系列相互关联的单阶段问题，并依次求解。动态规划没有标准的模型和解法，必须根据具体的问题来确定其求解方法。

1.动态规划模型与求解

动态规划的模型由三部分构成，即目标函数、各阶段状态与决策需要满足的约束条件和系统方程，可以表示为如下形式：

目标函数：

式中：i为阶段数；si为阶段i的状态；di为阶段i的决策；ri（si，di）为在阶段i、状态si下作出决策di所产生的效应（效益、损失等）指标，称为i阶段的指标函数。

约束条件：

系统方程：

式中：Ti为状态转移函数。

将阶段变量i、状态变量si和决策变量di联系起来。系统方程（或称状态转移方程）表明i+1阶段的状态si+i是由i阶段的状态si和决策di所决定的，而与i阶段以前的状态si-1，…，s1无关，这也是多阶段决策过程对无后效性的要求。

然而，动态规划模型的求解还必须构造动态规划的基本方程，以反映在多阶段决策过程中相邻的i阶段和i+1阶段之间的递推关系。根据动态规划中求解顺序的不同，有逆序法（从终点向起点递推，i＝N，N-1，…，2，1）和顺序法（从起点向终点递推，i＝1，2，…，N-1，N）两种，相应的基本方程也有两种形式，其中常用的是逆序法。

对于一般的多阶段决策问题，逆序法的基本方程为

如果过程指标函数是阶段指标函数的连乘形式，则逆序法基本方程为

如果采用顺序法从起点向终点递推，也可得出类似的顺序法基本方程，这时的子过程定义为从起点开始到某一阶段末状态的过程。一般来说，当初始状态给定时，采用顺序法比较方便；而最终状态给定时，采用逆序法比较方便。

2.水资源优化配置动态规划模型

某供水系统可供水量为Q，用户数为N，当给第k个用户供水xk时所产生的效益为gk（xk）。如何合理分配水量才能使总效益最大？以上问题是一静态问题，其数学模型可以表示为

如果gk（xk）均为xk的线性函数，则以上模型属于线性规划模型；如果gk（xk）为xk的非线性函数，则模型属于非线性规划中的可分规划模型。此外，如果把向每一个用户供水视为一个阶段，则以上问题也可以看作是一个N阶段的决策过程，可以用动态规划方法来求解，其模型描述如下[61]：

（1）阶段变量：k＝1，2，…，N，表示第k个用户。

（2）决策变量：第k个用户的供水量xk。

（3）状态变量：可用于分配给当前及以后阶段各用户的水量，即

（4）状态转移方程：根据状态变量qk，可得到状态转移方程为

（5）指标函数：第k阶段的指标函数为第k个用户的效益gk（xk）。

（6）目标函数：总效益最大

（7）约束条件：

建立以上模型后，可采用逆序法进行递推求解，其基本方程为

如果用函数或列表形式给出各用户的效益gk（xk），则可利用动态规划方法求出最优供水方案。假设可供水量Q＝500万m3，供给A，B，C三个用户（N＝3），各用户的供水效益如表2-4所示。

水量是一连续变量，但供水效益是以离散形式给出的，在求解过程中也需要将决策变量和状态变量离散化（以100万m3为1个单位）。即使供水效益是以连续函数形式给出，进行离散化求解也往往是比较方便的。以上问题的逆序法求解过程如下。

第一步：阶段3（k＝N＝3），将x3＝q3的水量分配给用户C，其基本方程为

其计算结果见表2-5。

表2-4　供水效益表

表2-5　阶段3计算结果

第二步：阶段2（k＝2），将x2＝q2-q3的水量分配给用户B、C，其基本方程为

表2-6　阶段2计算结果

注 带下划线数字表示不同供水量q2情况下f2（q2）的最大值。

第三步：阶段1（k＝1），将x1＝q1-q2的水量分配给用户A，B，C，其基本方程为

表2-7　阶段1计算结果

注 带下划线数字表示不同供水量q1情况下f1（q1）的最大值。

（1）P*＝（0，200，300），即向用户A，B，C供水量分别为0万m3、200万m3、300万m3。

（2）P*＝（200，200，100），即向用户A，B，C供水量分别为200万m3、200万m3、100万m3。

两种供水方案下的供水效益均达到最大值210万元。

以上最优供水方案是在可供水量Q＝500万m3的情况下得到的。如果遇到一个枯水年，可供水量只有Q＝400万m3，则从以上各阶段计算结果中可以直接确定相应的最优策略；如果丰水年可供水量达到Q＝600万m3，则可在以上计算表中加入相应的行、列计算即可；如果增加一个用户，则相当于增加一个阶段，在以上计算基础上再递推一次即可得到相应的最优供水方案。(www.xing528.com)

3.水库优化调度动态规划模型

水库优化调度问题是一个典型的多阶段决策过程，一般按一定的要求将调度期划分为若干个阶段，通过对下泄水量的合理调控使整个调度期内的总效益（如发电等）达到最大。

某一年调节水库，起调水位（枯水期末）与最终水位均为死水位，相应蓄水量为死库容，调度期分为N个阶段，以一年内总效益最大为目标的动态规划模型如下[61]：

（1）阶段变量：t＝1，2，…，N，表示调度期内的第t个阶段（月或旬等）。

（2）决策变量：第t个阶段的水库供水量xt。

（3）状态变量：阶段初水库蓄水量Vt。

（4）状态转移方程：根据水库水量平衡方程，可得到

式中：Qt为阶段内水库入库水量；Pt为水库降水量；WSt为水库弃水量（当水库蓄水量超出当前阶段的蓄水量限制时，超出部分为阶段弃水量）；Et为水库蒸发渗漏损失量。

（5）指标函数：t阶段的指标函数为该阶段的供水效益，如发电效益是发电水量、入库水量与水头（与水库蓄水量相对应）的函数，可表示为rt（Vt，xt，Qt）。

（6）目标函数：调度期内总效益最大，即

（7）约束条件：水库的水位（蓄水量）、阶段放水量均有一定的限制条件，可以表示为Vt，min≤Vt≤Vt，max，t＝1，2，…，N；xt，min≤xt≤xt，max，t＝1，2，…，N。

（8）边界条件：水库初始、最终蓄水量均为死库容Vd，即

由于以上动态规划模型中状态变量与决策变量均为连续变量，在求解过程中需要根据其变化范围（约束条件）将其离散化，然后采用逆序递推求解，其基本方程为

以上模型中只考虑了一个水库，为一维动态规划模型，如果考虑多个水库联合调度，在总效益最大的目标下可建立多维动态规划模型。