探索对称方程组的特殊解法方法

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学八年级第二学期》。

知识平台：

二元二次方程组的解法。

拓展意义：

教师在执教过程中，讲解21.6节课后习题，有学生提出可用“构造一元二次方程”的方法来解决这个问题。于是教师在学生原有知识的基础上拓展了本课，即介绍了代入消元法后再对比“构造一元二次方程”的方程解对称方程组，不仅可以加深学生对“消元”和“降次”这一基本思路的理解，还为学生解决问题拓宽了思路，有助于引导学生体验学习新知识的快乐，并感受知识之间的相互承上启下的关系。

活动建议：

建议课前由学生独立思考完成活动一，记录困难，课堂上老师引导，学生讨论交流相结合的形式开展，注重过程体验，培养学生迎难而上的学习品质。

活动方案：

活动一：解下列方程组，在解题过程中有困难的请做好标记，准备课堂交流

活动二：学生相互交流解题体会并观察这六个方程组及其解的特点

方程组特点：方程中未知数x，y可以对调，不影响结果；

方程组的解的特点：都有偶数组解，x1和y2，y1和x2可以互换生成。

对称方程（组）定义：如果一个二元方程中的x，y对调，所得的方程与原方程组相同，那么我们称这个方程是一个对称方程，由对称方程构成的方程组称为对称方程组。

判断以下方程是对称方程组吗？

学生论证：对称方程组为（1）（3）（4）。

活动三：探索代入消元法与求解对称方程组之间的关系

例题：

分析：用含x的代数式表示y，消去未知数y，得到：x2-7x+12=0。

用含y的代数式表示x，消去未知数x，得到：y2-7y+12=0。

两个一元二次方程的系数有什么特点？为什么？

两个一元二次方程的系数相等，且一次项系数为x+y的相反数，常数项为xy的值。

因为是对称方程，x，y在方程中的作用是相当的，所以我们解对称方程，可以直接构造一个新的一元二次方程，具体步骤如下：(www.xing528.com)

解：x，y可以看成k2-7k+12=0的两个解，

因为解得：k1=3，k2=4。

所以是原方程组的解。

结论：解对称方程组基本步骤：

第1步：找到的基本形式；第2步：构造方程：k2-mk+n=0；第3步：解方程k2-mk+n=0，并直接写出x，y的值。

活动四：找出下列对称方程组，的形式

例1：

解：由②2-①，得xy=6。

所以

例2：

解法1：把②代入①，得：x+y=

所以

解法2：令

所以

活动五：解对称方程组：

解：由②，得xy（x+y）=30。

令x+y=p，xy=q。　③

则

所以，p，q可以看成k2-11k+30=0的两个解，解得：k1=5，k2=6。

所以：，代入③，可得：为原方程组的解。

活动小结：

用“构造一元二次方程”的方法来解对称方程组的本质是用韦达定理逆定理来解对称方程组。韦达定理是中学阶段的重要定理，在解方程、三角、解析几何等问题中有着广泛的应用。教材对这部分内容没有做具体要求。教师在引导学生掌握了对称方程组的特点之后，引导学生观察、讨论，总结消去未知数x和消去未知数y之后两个一元二次方程的系数特点，并提出用“构造一元二次方程”的方法来解对称方程组。这是学生学习的一种自我生成和应用。最后通过学生自己的发现解决了原本无法解决的问题，让学生体会到了主动学习，面对困难迎难而上的学习体验。用已有知识解决了难题是这节课给学生最大的收获。