DSGE线性化系统的数值求解：BK方法优化方案

在DSGE模型转化之后线性系统后，求解的思路是通过消去期望符号(理性预期因素的影响)，得到描述市场行为主体行为特征的差分系统，以此完整方程求解的过程。如前文所述目前较为成熟的求解方法是布兰查德(Blanchard)和卡恩(Kahn)1980年的BK法，故下文将重点介绍。

(一)变化为BK标准型

通常DSGE模型线性化后的矩阵方程可写为如下形式：

该式中K1、K2和K3为系数矩阵，是系统结构参数的函数表达形式。Et为期望符号，指在t期时对系统中所有下一期变量的条件期望。向量dt为DSGE系统内生变量和外生变量的集合，由上文可知在处理上通常表示为对稳态值的对数偏离形式。向量εt则为系统的扰动项，是系统所受外生冲击的集合。

下一步，如果系数矩阵K1可逆，则可通过逆矩阵左乘式3.9的方法改写方程，目的是为了使线性化系统进一步变形为符合BK方法使用的形式：

设，则式3.9式可改写为：

该式即为BK标准型。

但某些情况下，系数矩阵K1不可逆，即无法直接使用BK方法求解。对此，金(King)和沃特森(Watson)于2002年提出了一种缩减模型为确定性变量子集的方式。具体而言，将DSGE线性系统中的变量划分为动态变量，静态变量和动态变量三种，分别以向量pt、qt、rt表示；同时设U1到U7为新矩阵方程的系数矩阵，并假定U1和U4可逆，则原线性系统可改写为：

接着，用左乘式3.11得：

继续代入式3.12得：

用左乘式3.14得：

该形式与BK标准型式3.10是一致的。至此，系数矩阵不可逆的问题也予以解决。

(二)求解BK方程

基于BK标准型，Etdt+1=Jdt+Lεt，设dt+1=[d1t+1d2t+1]′，则标准型可改写为：

该式中，d1t+1为内生前定变量，不包括误差项，d2t+1为内生非前定变量，包含预测误差，εt为外生扰动项，且Et(εt)≠0。J、L均为系数矩阵：

根据BK方法，下一步将对J进行约旦分解(Jordan decomposition)，

设Ω可逆，J=Ω-1ΛΩ，则式3.16化为：

其中，矩阵Λ的对角值为系数矩阵J的特征根，并从左至右按其绝对值大小排列，如下式：

该矩阵中|Λ1|≤1和|Λ2|＞1，分别表示Λ1的特征根均在单位圆内，Λ2的特征根则在单位圆外。显然Λ1是平稳的，而由于Λn2会随着n的增加而变大，故非平稳。

进一步，将矩阵Ω分块得：

将该式左乘式3.18，可化为：(www.xing528.com)

令

则式3.21可写为：

由该式可知，内生非前定变量d2t+1取决于Λ2中所包含系数矩阵J的非平稳特征根。将式3.24继续化简可改写为：

整理其中第二个方程：

前一期方程可写为：

两式合并得：

由上文，Λ2的特征根在单位圆外，故n→∞时，向无穷时，，故式3.28可改写为：

由式3.22下半部分得：

将式3.29代入式3.30，可得：

该式即线性DSGE系统BK标准型内生非前定变量的解。

由式3.16下半部分和式3.17，可得：

将式3.31代入3.32，可得：

该式即线性DSGE系统BK标准型内生前定变量的解。

将式3.33简化后，可写成解的一般形式：

该式中系数矩阵ζ及ξ表示模型系统结构参数的函数。

根据BK方法，判断DSGE线性系统解的存在性及唯一性的标准在于系数矩阵J非稳定特征根数目与内生非前定变量数目的关系。具体分为以下三种情况。

(1)当系数矩阵非稳定特征根数目大于内生非前定变量数目，模型无解。

(2)当系数矩阵非稳定特征根数目等于内生非前定变量数目，模型有且存在唯一解。

(3)当系数矩阵非稳定特征根数目小于内生非前定变量数目，模型有解，但不唯一。

值得一提的是，BK方法并非唯一求解DSGE线性系统的选择，尤其近几年来Schur方法以及QZ分解也得到了较广的应用。虽然形式不同，但在基本思路上与BK方法是一致的。选择不同解法的关键还需基于不同的情形，不可生搬硬套。