DSGE模型的识别方法优化

DSGE模型是目前宏观经济研究领域应用十分广泛的一类结构宏观计量模型，同所有的结构模型一样，无论采用何种方法估计结构参数，都必须首先讨论模型可识别性。Ivana＆Serena（2011）指出，由于DSGE模型简化型的不确定性，使得对DSGE模型的识别研究始终没有形成统一的分析框架。Ivana＆Serena（2011）给出了一种利用状态空间模型讨论DSGE模型可识别性的方法；Iskrev（2010）利用自协方差矩阵讨论了DSGE模型的局部识别问题；Caglar et al.（2012）提出利用Dynare程序包可以方便地得到“学习率指标”，从而判断Smets＆Wouters（2007）DSGE模型中结构参数的可识别性；之后，Gary et al.（2013）梳理了DSGE模型识别的研究框架，并拓展了Caglar et al.（2012）的研究成果，基于Bayes分析方法提出了两个重要的识别指标：一个指标用于判定结构参数是否是局部可识别的；另一个指标用于判定结构参数是不可识别还是弱识别的，其在实际应用中更为有用。本书将重点介绍Ivana＆Serena基于状态空间模型识别DSGE模型的动态识别方法。

前文已经给出了将DSGE模型推导表示为状态空间模型的形式，即式（5.4）

其中，ξt为nξ×1维的状态变量，yt为ny×1维的可观测变量，εt为nε×1维的结构冲击。并且，模型满足下列两个基本假设。

其中，ξt为nξ×1维的状态变量，yt为ny×1维的可观测变量，εt为nε×1维的结构冲击。并且，模型满足下列两个基本假设。

假设5.1.1：对于任意的θ∈Θ以及（t，）s，都有E（εt）＝0以及∑ε（θ），其中∑ε（θ）是正定的，并且其cholesky分解为∑ε（θ）＝Lε（θ）Lε（θ）′。

假设5.1.1：对于任意的θ∈Θ以及（t，）s，都有E（εt）＝0以及∑ε（θ），其中∑ε（θ）是正定的，并且其cholesky分解为∑ε（θ）＝Lε（θ）Lε（θ）′。

假设5.1.2：对于任意的θ∈Θ，特征方程det（-A（θ））＝0的解在单位圆内。

显然，假设5.1.1要求εt为白噪声过程，但这个假设条件要弱于i.i.d.。假设5.1.2是平稳性条件，那么，yt可以表示为VMA（∞）的形式：

假设5.1.2：对于任意的θ∈Θ，特征方程det（-A（θ））＝0的解在单位圆内。

显然，假设5.1.1要求εt为白噪声过程，但这个假设条件要弱于i.i.d.。假设5.1.2是平稳性条件，那么，yt可以表示为VMA（∞）的形式：

其中L为滞后算子，hε（0，θ）＝D（θ），hε（j，θ）＝C（θ）A（θ）j-1 B（θ），并且脉冲响应函数为：

其中L为滞后算子，hε（0，θ）＝D（θ），hε（j，θ）＝C（θ）A（θ）j-1 B（θ），并且脉冲响应函数为：

定义5.1.1：若对于所有的z∈C，都有Ωy（z；θ0）＝Ωy（z；θ1），则θ0与θ1观测等价。

显然，Ωy（z；θ0）＝Ωy（z；θ1）等价于Γy（j；θ0）＝Γy（j；θ1）。

定义5.1.2：若对于参数点θ0∈Θ的开邻域内中的任意一点θ1，θ0与θ1观测等价当且仅当θ0＝θ1，则称DSGE模型是局部识别的。

定义5.1.1：若对于所有的z∈C，都有Ωy（z；θ0）＝Ωy（z；θ1），则θ0与θ1观测等价。

显然，Ωy（z；θ0）＝Ωy（z；θ1）等价于Γy（j；θ0）＝Γy（j；θ1）。

定义5.1.2：若对于参数点θ0∈Θ的开邻域内中的任意一点θ1，θ0与θ1观测等价当且仅当θ0＝θ1，则称DSGE模型是局部识别的。

在讨论DSGE模型可识别的秩条件之前，Ivana＆Serena（2011）还给出了一个重要的引理。一般地，Hε（z；θ）的左可逆性^[1]（left-invertibility）与P（z；θ）相关，其中P（z；θ）

命题5.1.2：在假设4.1.1与4.1.2成立的条件下，对于任意的θ∈Θ及所有的z∈C-a（θ）［a（θ）表示矩阵A（θ）的特征值］，则rank（P（z；θ））＝nξ+rank（Hε（z；θ））。

进一步地，Ivana＆Serena（2011）分别对奇异（nε≤ny）和非奇异（nε≥ny）的情况进行了详细地讨论，并且分别给出了在这两种情况下DSGE模型可识别的秩条件和阶条件。

对于奇异的DSGE模型，其结构参数为：

在讨论DSGE模型可识别的秩条件之前，Ivana＆Serena（2011）还给出了一个重要的引理。一般地，Hε（z；θ）的左可逆性^[1]（left-invertibility）与P（z；θ）相关，其中P（z；θ）(www.xing528.com)

命题5.1.2：在假设4.1.1与4.1.2成立的条件下，对于任意的θ∈Θ及所有的z∈C-a（θ）［a（θ）表示矩阵A（θ）的特征值］，则rank（P（z；θ））＝nξ+rank（Hε（z；θ））。

进一步地，Ivana＆Serena（2011）分别对奇异（nε≤ny）和非奇异（nε≥ny）的情况进行了详细地讨论，并且分别给出了在这两种情况下DSGE模型可识别的秩条件和阶条件。

对于奇异的DSGE模型，其结构参数为：

可以证明，奇异DSGE模型在θ0∈Θ是局部识别的充分必要条件是映射δS（θ，T，U）在处是局部单射。

可以证明，奇异DSGE模型在θ0∈Θ是局部识别的充分必要条件是映射δS（θ，T，U）在处是局部单射。

那么，可得到奇异DSGE模型局部可识别的秩条件和阶条件定理。

那么，可得到奇异DSGE模型局部可识别的秩条件和阶条件定理。

命题5.1.4：对于nε≤ny的DSGE模型，假设4.1.1与4.1.2均成立，并且假设对于任意的θ∈Θ以及＞1，rank（P（z；θ））＝nξ+nε，矩阵（B（θ）A（θ）B（θ）…Anx-1（θ）B（θ））是行满秩的，并且矩阵（C（θ）′A（θ）′C（θ）′…Anx-1（θ）′C（θ））′是列满秩的。若ΔS（θ）的秩在θ0的一个邻域内为恒定的常数，则θ局部可识别的充分必要条件（秩条件）是：

命题5.1.4：对于nε≤ny的DSGE模型，假设4.1.1与4.1.2均成立，并且假设对于任意的θ∈Θ以及＞1，rank（P（z；θ））＝nξ+nε，矩阵（B（θ）A（θ）B（θ）…Anx-1（θ）B（θ））是行满秩的，并且矩阵（C（θ）′A（θ）′C（θ）′…Anx-1（θ）′C（θ））′是列满秩的。若ΔS（θ）的秩在θ0的一个邻域内为恒定的常数，则θ局部可识别的充分必要条件（秩条件）是：

并且，θ局部可识别的必要条件（阶条件）是：

并且，θ局部可识别的必要条件（阶条件）是：

对于非奇异的DSGE模型，当结构冲击的个数大于可观测变量的个数，即nε＞ny时，转移矩阵不再是左可逆的，因此yt不再具有VMA（∞）表达。但是，借鉴Anderson＆Moore（1979）以及Hansen＆Sargent（2005）的处理方法，将（5.4）式改写为：

对于非奇异的DSGE模型，当结构冲击的个数大于可观测变量的个数，即nε＞ny时，转移矩阵不再是左可逆的，因此yt不再具有VMA（∞）表达。但是，借鉴Anderson＆Moore（1979）以及Hansen＆Sargent（2005）的处理方法，将（5.4）式改写为：

此时状态变量为基于历史yt得到的ξt的最优线性预测，at+1＝yt+1-C（θ）表示yt向前一期预测的预测误差，并且at是白噪声过程，方差—协方差矩阵为∑a（θ），其Cholesky分解为∑a（θ）＝La（θ）La（θ）′。经过与奇异的情况下类似的分析和推导，得到非奇异的DSGE模型局部可识别的秩条件和阶条件定理。

此时状态变量为基于历史yt得到的ξt的最优线性预测，at+1＝yt+1-C（θ）表示yt向前一期预测的预测误差，并且at是白噪声过程，方差—协方差矩阵为∑a（θ），其Cholesky分解为∑a（θ）＝La（θ）La（θ）′。经过与奇异的情况下类似的分析和推导，得到非奇异的DSGE模型局部可识别的秩条件和阶条件定理。

命题5.1.5：对于nε≥ny的DSGE模型，在假设4.1.1与4.1.2成立的条件下，对任意的θ∈Θ，假设矩阵D（θ）∑ε（θ）D（θ）′是非奇异的，（K（θ）A（θ）B（θ）…是行满秩的矩阵，并且矩阵（C（θ）′A（θ）′C（θ）′…（θ）′C（θ））′是列满秩的。若在θ0的一个邻域内矩阵ΔNS（θ）的秩为恒定的常数，则θ局部可识别的充要条件是：

命题5.1.5：对于nε≥ny的DSGE模型，在假设4.1.1与4.1.2成立的条件下，对任意的θ∈Θ，假设矩阵D（θ）∑ε（θ）D（θ）′是非奇异的，（K（θ）A（θ）B（θ）…是行满秩的矩阵，并且矩阵（C（θ）′A（θ）′C（θ）′…（θ）′C（θ））′是列满秩的。若在θ0的一个邻域内矩阵ΔNS（θ）的秩为恒定的常数，则θ局部可识别的充要条件是：

并且，θ局部可识别的必要条件（阶条件）是：

并且，θ局部可识别的必要条件（阶条件）是：

至此，Ivana＆Serena（2011）利用状态空间模型（SSM）讨论了DSGE模型的识别性，并且，将定理应用于An＆Schorfheide（2007）的新凯恩斯DSGE模型，详细讨论了模型原始参数的识别性。然而，与许多研究DSGE模型识别问题的经济学家们一样，Ivana＆Serena（2011）并没有给出对于不可识别的DSGE模型如何通过施加约束使其达到可识别的方法。本章的4.2将针对这个问题展开深入的讨论，将参数校准视为对DSGE模型的结构参数施加的点约束，使其达到可识别。

至此，Ivana＆Serena（2011）利用状态空间模型（SSM）讨论了DSGE模型的识别性，并且，将定理应用于An＆Schorfheide（2007）的新凯恩斯DSGE模型，详细讨论了模型原始参数的识别性。然而，与许多研究DSGE模型识别问题的经济学家们一样，Ivana＆Serena（2011）并没有给出对于不可识别的DSGE模型如何通过施加约束使其达到可识别的方法。本章的4.2将针对这个问题展开深入的讨论，将参数校准视为对DSGE模型的结构参数施加的点约束，使其达到可识别。