基于PWCS和初等变换的可观测性分析方法的优化

根据PWCS可观测性分析方法，将线性时变系统划分成多个时间段，在每个时间段将系统近似为线性定常系统，系统是否可观测主要看可观测矩阵是否列满秩。第j（j＝1，2，…r）个时间段的可观测性矩阵为Qj：

（1）进行PWCS可观测性分析，前提是已知状态转移矩阵和观测矩阵，但上述二者通常是所估计的状态变量的函数，所以该方法需要在滤波估计之后进行，这就会带来巨大的计算量。

（2）PWCS可观测性分析方法只能定性地指出所估计状态的可观测与否，而不能得出具体的可观测程度。

（3）在SVD的方法中，对Qj进行奇异值分解，得到的奇异值矩阵无法反映各个参数之间的耦合特征。这样就会将所得到的奇异值当作某几个相互耦合的参数中的一个参数的可观测度，所以会造成分析误差。

由于可观测矩阵中包含了可观测度的信息，所以本书在PWCS方法的基础上对可观测矩阵进行初等变换，从变换后的矩阵中可得到各状态的可观测度信息。方法如下。

由可观测矩阵Qj可得到Zs（r）＝Qs（r）X（r），Zs（r）＝［Z1Z2Z3…Zj…Zr］，1≤j≤r，Zj＝［ZT…（Z（n-1））T］T，以上为各阶段的观测量以及其各阶导数。(www.xing528.com)

首先，对Qs进行高斯消元，得到上三角矩阵Us，Us＝PQs，P为初等变换。故Ys＝PZs，令Ys＝UsX，所以Us就是变换后的可观测矩阵（在从Qs到Us的变换过程中，当高斯消元后，若uii≠0（1≤i≤n），则从第n列到第一列进行逆序高斯变换，使除uii外的所有元素都为零，若uii＜0（1≤i≤n），则对整列乘以-1），在通常情况下Qs行数大于列数，所以，令Us＝［U0O］T，U0为Us的前n行，若系统完全可观测，则U0为对角阵，若系统不完全可观测，这里假设

由式（6-2）可知，R（U0）＝5，因此，X不完全可观测，其中，x1和x7独立可观测；x5完全不可观测；x2、x3、x4、x6可观测，但四个状态之间存在耦合，非独立可观测。

关于X各状态变量的可观测性，可以采用如下方法进行判断：在初等变换后的上三角矩阵中，若第i行除主对角线元素外都为零，则xi独立可观测；若第i列元素都为零，则xi完全不可观测；若第i行除主对角线元素外，还有其他元素不为零，则xi可观测，但不可独立观测，而与其他变量存在耦合。

该方法不仅可以用U0的主对角线元素来衡量X中的各变量的可观测度，而且可以体现各状态变量之间的耦合关系，可以克服PWCS方法和SVD方法的不足。