小学数学概念的构成与分类及其教学

（一）数学概念

概念（concept）是思维的基本形式之一，是事物的本质属性在人脑中的反映。概念是一切科学知识和科学思维的基础，也是人类思维的基本要素。

概念不仅反映客观事物的本质属性，而且反映客观事物间的相互关系。客观世界是一个有机联系的整体，客观事物不是孤立存在的，它们之间的关系也是其本质属性的有机组成部分。如：“3与5互质”，“5大于3”，其中的“互质”、“大于”就是反映关系的概念。

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更准确。

（二）数学概念的构成

数学概念由内涵与外延两个方面构成。

概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。要能正确地把握与揭示概念的内涵，就必须注重两个基本的要素，即“本质属性”和“总和”。换句话说，非本质属性不表示概念的内涵，而把握部分本质属性也不是概念的内涵。如“平行线”这一概念，缺少“在同一平面内”，就不能构成本质属性的总和，而“不曲不折的线”就不是其本质属性。

概念反映的所有对象的全体叫做这个概念的外延。例如：平行四边形这一概念的外延包括一般的平行四边形，长方形，菱形，正方形等。正确把握与揭示外延，要依赖于概念的内涵（即对象的本质属性）。如对于“梯形”这一概念，要把握“为什么不是平行四边形？”就要从其本质属性“只有一组对边平行”去理解。

概念的内涵是概念的“质”的反映，概念的外延是概念的“量”的反映，二者相互依存，是构成概念的统一而不可分割的两个方面。

具有从属关系的概念的内涵与外延之间具有反向对应关系：概念的内涵扩大，其外延就缩小；反之，概念的内涵缩小，其外延就扩大。如：在“四边形”概念基础上增加内涵“两组对边分别平行”，就得到“平行四边形”概念，其外延缩小；再增加内涵“有一个角是直角”，就得到“矩形”概念，其外延进一步缩小。

（三）小学数学概念的分类

1.概念的分类

概念的分类是一种揭示概念外延的逻辑方法^[1]。当学生积累了一定数量的概念后，引导学生将概念分类，可以理清各种概念之间的关系，进而形成概念系统，这是构建数学认知结构的重要方法。在概念分类中，被分类概念叫做属概念；选取属概念的某一非本质属性作为分类的标准，将它划分成若干个相互并列的概念，这些相互并列的概念叫做这个属概念的种概念。属概念、种概念、分类标准合称分类三要素。同一概念，采用不同的分类标准，会产生不同的分类结果。

2.概念分类的规则(www.xing528.com)

（1）分类必须是相称的。即分类所得的各个属概念的外延的并集应等于种概念的外延。如：把正整数分为合数和质数，这就违反了本条规则，因为遗漏了数“1”

（2）分类所得各个属概念应互相排斥。即任何两个属概念的外延的交集是空集。如：有的学生回答小数分类时说：“可以分成纯小数，带小数，循环小数”。其中循环小数与纯小数的外延有公共部分——整数部分为0的纯循环小数，循环小数与带小数的外延也有公共部分——整数部分不为0的循环小数。这就违反了本条规则。

（3）每次分类应按同一标准进行。一次分类中同时使用不同的分类标准，会产生混乱。

（4）分类不能越级进行。即分类所得各个属概念应当是种概念的最邻近的属概念。如：把三角形分成等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形、不等边直角三角形、不等边钝角三角形、不等边锐角三角形，就属于越级分类。

3.数学概念的主要分类

与概念的分类一样，依据不同的分类标准，数学概念有着不同的分类结果。例如：

（1）按数学概念的来源，可分为一级概念和二级概念。一级概念就是指那些直接从现实世界客观事物的数量关系或空间形式的经验中抽象而得到的数学概念，即是一种从直观和现实的对象直接抽象而形成的数学概念。同时也包括一些原始的概念。它通常是人们约定俗成的、普遍理解并能正确运用的“公理”。因此，这类概念常常是不定义的，对其内涵和外延不作任何的展示与说明而直接运用。例如，“点”、“图形”、“符号”等。二级概念通常是指那些在已有的数学概念基础上，经过进一步的抽象、推理、概括等思维活动而得到的数学概念，即指在一些数学概念基础上而获得的数学概念。这种数学概念常常由两个或两个以上的数学概念通过某些联项而组成的定义（或其他方式）的形式来呈现的。

（2）按数学概念所反映的对象特征看，可分为不同的类型。例如有：

●反映组成这些关系与形态基本元素的本质特征。例如，“方程”、“面积”、“不等式”等；

●反映对象的性质特征。例如，“对称”、“封闭”、“无限延长”等；

●反映对象的相互关系的。通过它来揭示一定的数量关系或空间形态。例如，“平行”、“垂直”等；

●反映某些操作程序及其特征的。建立这种概念的目的常常就是为了能获得正确的操作和逻辑运算。例如，“加法”、“通分”、“角的度量”等。