高中数学思想方法：否定性命题-没有……

结论里有“没有……”“不是”“不能”或“找不到”“不大于”，其反面是具体的肯定，而数学里面的定理概念公式，都是与肯定、确定等正面词汇相匹配的.这个时候，用反证法往往比用直接证法更有希望.

例2 已知三个正数a，b，c成等差数列且公差不为零，求证：数列不可能成等差数列.

探究：假设数列能构成等差数列，则；又因为a，b，c三数成等差数列，所以，代入上式得，所以（a+c）2=4ac，即（a-c）2=0，所以得a=c，与题设矛盾，从而假设错误，所以原命题成立.

说明：消元是一项化简举措，肯定有利于问题的发展.反证法也不例外，消元之后，问题更加清晰，更容易发现矛盾所在.

例3 三棱锥D-ABC的底面ABC是锐角三角形，且DA⊥平面ABC，H是A在平面BCD内的射影，求证：H不可能是△BCD的垂心.

探究：假设H是△BCD的垂心.

延长BH交CD于E，

所以CD⊥BH.

因为H是A在平面BCD内的射影，

所以AH⊥平面BCD，

所以CD⊥AH.

由AH∩BH=H，得CD⊥平面ABH，

例3图①

例3图②

所以AB⊥CD.

因为AD⊥平面ABC，

所以AB⊥AD.

由AB∩AD=A，得AB⊥平面ACD，

所以AB⊥AC.

这与△ABC是锐角三角形矛盾，说明假设不成立，

所以H不可能是△BCD的垂心.

说明：并不是所有的发展都能找到矛盾所在.本题的研究中，也有一个反复试错纠错的过程.如果连接DH与BC相交于M，由于H是△BCD的垂心，所以BC⊥DM……进而可以得到BC⊥AM.因为底面为锐角三角形，所以BC⊥AM是有可能的，没有形成认知冲突，所以应该换一个角度去发现真正的矛盾.

例4 直线l：y=kx+m（m≠0）与曲线相交于A，C两点，O是坐标原点.当点B在E上且不是E的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.

探究：假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是E的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

例4图

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则由韦达定理可得

所以AC的中点为

直线OM与OB的斜率都是

OABC为菱形，所以AC⊥OB，也就是它们的斜率之积为-1，但是k·相互矛盾，(www.xing528.com)

所以，当点B不是E的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.

说明：圆锥曲线问题的基本解法特征是：联立方程组，利用韦达定理、中点坐标公式甚至弦长公式，把问题推向深入.该题利用菱形对角线互相垂直的性质，比较轻松地发现了矛盾.

例5 设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）.记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}.若{S}，{T}分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）.

A.{S}=1且{T}=0 B.{S}=1且{T}=1

C.{S}=2且{T}=2 D.{S}=2且{T}=3

探究：肯定一个存在性的问题，只要找到一个特例即可.

我们先分别讨论四个选项的可能性.

当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0，A有可能成立；

当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1，B有可能成立；

当a=c=1，b=-2时，有{S}=2且{T}=2.C有可能成立，

故选D.

因为f（x）=（x+a）（x2+bx+c），则f（x）=0时至少有一个根x=-a.

当b2-4c=0时，f（x）=0还有一根，只要b≠2a，f（x）=0就有两个根；当b=2a，f（x）=0就只有一个根.

当b2-4c＜0时，f（x）=0只有一个根；当b2-4c＞0时，f（x）=0有两个根（x=-a为重根）或三个根，

所以，{S}=1，2，3皆有可能.

同样，g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）的零点情况如下.

a=b=c=0时，g（x）=0无解.

当a=0，c≠0或者a≠0，c=0或者a≠0，c≠0的时候，也可以得到{T}=0，1，2，3皆有可能.

其实，要严格证明选项D的不可能性，只能通过反证法.

假设{S}=2且{T}=3，后者情况比较单一，所以我们应该从后者开始，推出矛盾即可.

若{T}=3，则g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）有三个零点，所以：

a≠0，c≠0，Δ=b2-4c＞0，且ax+1=0的根不是cx2+bx+1=0的根，

即

所以b2-4c＞0，a2-ab+c≠0……①.

若{S}=2，则f（x）=（x+a）（x2+bx+c）有两个零点.

因为f（x）=0至少有一个根x=-a，

所以当b2-4c=0时，f（x）=0还有一根，只要b≠2a，f（x）=0就有两个根.但是此时b2-4c=0与①式冲突.

当b2-4c＞0时，f（x）=0有两个不等实数根，x=-a必须满足x2+bx+c=0，也就是b2-4c＞0时，a2-ab+c=0，这也与①式冲突.

综上所述，D不可能成立.

说明：反例举证其实就是一种创造，需要找到那些使条件成立但结论错误的例证.

在上述问题的研究过程中，我们采用了分类讨论的方法，其中还涉及存在性问题的举证，不存在问题的证明只能使用反证法，各种方法结合起来，完成了该问题的解答.我们从中真正体会到数学问题的本质，对相关的知识和方法有了更加明确的认识.对这种问题的研究讨论也使得我们能够真正地提高数学的研究能力.其中的特例举证，需要我们具备一定的创新能力，对条件结论中的各种参数必须有一个合理全面的把控；其中的反证法中，各种数量关系的比对分析必须精准对应，这对数学能力的提升有重要价值.