高中数学思维方法：问题转化与数学归纳设计

有些问题看起来不是数学归纳法的问题，但是，除去干扰因素，发掘题目中的隐含条件，很多关于正整数的题目往往都可以转化为数学归纳法的问题.这样一来，我们便有章可循、有法可依了.

当然，要想完全进入数学归纳法的轨道，我们有时候还要对问题的条件和结论进行必要的整理和补充.

例13 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明{an}是等差数列.

探究：令d=a2-a1.只要能够证明an=a1+（n-1）d（n∈N*）对任意正整数n都成立即可.

（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1.

当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立.

（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，ak=a1+（k-1）d.

由题设可得，又Sk+1=Sk+ak+1，

所以

把ak=a1+（k-1）d代入上式，得：

(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k-1)d+2ak+1，

整理得（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d.

因为k≥2，所以ak+1=a1+kd，即当n=k+1时命题成立.

由（1）和（2），等式对所有的正整数n成立，从而{an}是等差数列.

说明：本题的条件里面，只涉及数列的各项，并没有公差的信息，所以引入d=a2-a1是恰当合理的.问题被转化成“能够证明an=a1+（n-1）d（n∈N*）对任意正整数n都成立”，接下来的就是运用数学归纳法了.

要注意到，问题的原始条件，在n=k和n=k+1的时候都是可用的.这样，就会消去前k项和与前k+1项和的复杂信息，得到数列中相邻两项的直接的递推关系.

运用数学归纳法，如果验证了n=1，一般不用再验证n=2了.而在该题中，我们恰恰验证了两次.你认为有必要吗？当然有必要.你研究一下n=k+1证明中的约分“k-1”便可明白其中的道理.

例14 设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有

探究：先证必要性（裂项相消法）.

设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立.

再证充分性（数学归纳法）.

因为所述的等式对一切n∈N*都成立，所以n=2时有

两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d.

下面证明an=a1+（n-1）d对一切正整数n都成立.

显然，n=1，2时上式都成立.

当n=k时，假设ak=a1+（k-1）d（k＞1）.

当n=k+1时，由条件可得如下两个等式：(www.xing528.com)

将②整体代入③可得

在该式两端同乘a1akak+1得（k-1）ak+1+a1=kak.

将ak=a1+（k-1）d代入其中整理得（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d，进而ak+1=a1+kd，

所以对一切n∈N*，都有an=a1+（n-1）d，所以{an}是等差数列.

说明：本题和上一道题，背景不同，但是所用方法几乎完全一致，原条件在n=k和n=k+1的时候被使用了两次，同样也是引入公差d采用通项公式的检验来证明等差数列的.

前面做好各种设计，为数学归纳法的进入做好了全部的准备.

例15 已知a，b均为正整数，且a＞b，，An=（a2+b2）nsinnθ，求证：对于一切正整数n，An均为整数.

观察与思考：这是一个关于正整数n的命题，故可考虑用数学归纳法证明.

当n=1时，A1=2ab命题成立.

设n=k时，Ak为整数，即（a2+b2）ksinkθ为整数.

当n=k+1时，Ak+1=（a2+b2）k+1sin（k+1）θ

=(a2+b2)k+1(sinkθcosθ+coskθsinθ).

因为，所以Ak+1=Ak（a2-b2）+2ab（a2+b2）kcoskθ.……①

由归纳假设可知，上式中的前一项为整数，但后一项很难把握，很难将其与归纳假设联系起来，即便将coskθ写成，问题仍成为：

而不会再有什么进展（对其进一步试探、分解因式等也是如此而已）.

观察到①式的后一项中（a2+b2）kcoskθ与Ak的结构相似，所以不妨在归纳假设里设Bk=（a2+b2）kcoskθ也为整数（B1=a2-b2为整数），尝试将原题结论扩大，变成证明An、Bn均为整数.看似结论增多了，实际上，这是将条件——归纳假设增多，使它们成为两个，共同创新，使得在n=k+1时的证明里能将它们联系起来充分运用.总之，是因为将证明的条件增多，降低了运算证明的难度.

当n=1时，A1，B1均为整数.

设n=k时，Ak，Bk均为整数.

当n=k+1时，Ak+1=（a2-b2）Ak+2abBk也是整数.

Bk+1=（a2+b2）k+1cos（k+1）θ=（a2+b2）k+1（coskθcosθ-sinkθsinθ）=（a2-b2）Bk-2abAk也为整数.

当n为任何正整数时，An，Bn均为整数，故原命题成立，

说明：本题的解法里，将Ak，Bk均为整数的条件（归纳假设）同时结合运用，解题过程才得以顺利进行；舍弃一方，片面发展另一方，几乎寸步难行.所以，Bk的设计是本题证明的关键，它实际上是使证明的条件增加了一个.

要充分应用问题的条件.这里的条件是广义的，它不仅是指题目的原始条件（题设），也包含解题过程中的过渡性结论.

数学归纳法是这一原则的充分例证，在证明n=k+1时命题也成立的时候，必须充分地应用归纳假设和题目中的原始条件，在二者的充分结合运用中，实现由“n=k”向“n=k+1”的过渡.数学的其他基本方法也是如此，比如反证法.反证假设的设计，实质是为问题的证明增加了一个条件.将增加的条件与问题的其他条件结合运用，无疑能使证明降低难度.

总之，数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有着极大的优势，因为它比一般证明方法多了一个条件——归纳假设.充分使用条件是一个普遍的数学解题原则.当你在解题过程中一筹莫展的时候，转而用上那个未曾参与的条件，往往能够产生突破.数学归纳法如果能和其他数学方法结合起来，问题的解决可能会事半功倍.数学归纳法使数学研究避免了盲目性、随意性，提高了数学研究的确定性、自主性.