乘性互补矩阵的判断及一致性：基于不动点的决策方法

乘性互补两两比较判断矩阵，是应用在层次分析法中的基本判断／偏好信息，其定义如下［1］。

定义1.1　如果一个n×n矩阵［pij］n×n满足

（1）pij∈（0，+）；

（2）pijpji＝1。

则被称为乘性互补两两比较判断矩阵，简称乘性判断矩阵，或在不引起混乱的情况下，直接简称为判断矩阵。

在决策中，乘性判断矩阵是常用的偏好信息，其元素pij代表两个被比较对象xi和xj在某准则或属性下的偏好比率。直观上理解，在某准则下，xi的“好” 是xj的“好”的倍数，显然有：pii＝1，∀i。

判断矩阵的一致性是与判断是否一致、是否存在矛盾有关的一个概念，关乎着决策的可靠性，定义如下［1］。

定义1.2　如果一个n×n乘性判断矩阵［pij］n×n满足

pijpjk＝pik，∀i，j，k

则称该判断矩阵满足一致性，或说该判断矩阵是一致的。

直观上理解，一致性要求pijpjk＝pik意味着：如果在某指标上xi是xj的2倍，同时xj是xk的3倍，则xi应该是xk的2×3＝6倍。显然，任一二阶判断矩阵都是一致的。(www.xing528.com)

某一准则下的判断矩阵，被用于推导该准则下被比较因素的权重（局部权重）。Saaty主张用判断矩阵的最大特征值对应的归一化特征向量作为被比较因素的局部权重，即，若令ω＝［ωi］n×1表示判断矩阵M＝［pij］n×n对应的权重，则满足

Mω＝λmaxω

显然，当判断矩阵一致时，有

pij＝ωi／ωj，∀i，j

且一致性判断矩阵的任一列都可以作为权重向量（相差一个正数乘因子）。

在现实的决策中，由于判断矩阵代表着决策者的偏好、判断，因此，在复杂环境下决策者给出的判断不一定满足完全的一致性，这是正常的。考虑到人在判断中差错的不可避免，人们又引入可接受一致性的概念，比如，Saaty提出的可接受一致性标准如下［1］。

定义1.3　对于乘性判断矩阵［pij］n×n，如果一致性比率CR满足

则称判断矩阵具有可接受的一致性。其中CI＝为一致性指标，RI为随机一致性指标，可由表1.1查询，其具体数值，是通过随机产生若干个（比如500个）某一阶的判断矩阵，计算其一致性指标，并取平均值得到。

表1.1　判断矩阵阶数与随机一致性指标