多准则决策与群决策：基于模糊互补判断矩阵的层次决策模型

基于模糊互补判断矩阵的层次决策模型过程如下。

（1）将决策问题分解，建立层次结构模型，总目标在最顶层，往下依次是准则层、子准则层，最底层为方案层。目标、准则、方案统称为因素。（这一步与AHP一样）

（2）建立下层因素相对于临近上层的某一个因素的两两比较加性互补判断矩阵。

（3）对所建立的判断矩阵进行一致性分析。对互补判断矩阵M＝［pij］n×n，满意一致性标准为

如果某一个矩阵不满足以上条件，则重新建立该判断矩阵或采用其他方法使其达到满意一致性。

（4）应用2.3节中乘性互补判断矩阵与模糊互补判断矩阵的同构映射，将准则相对于总目标以及下层准则相对于上层准则的模糊互补判断矩阵转换为乘性互补判断矩阵。

对乘性互补判断矩阵采用行几何平均法推导矩阵对应的局部权重向量。

对模糊互补判断矩阵采用行算术平均法推导矩阵对应的局部权重向量（定理2.16中的式子）。

然后有针对性地进行如下两种归一化。

①如果是底层方案相对于其紧上准则的权重，则采用极小归一化（定理2.17中的式子）。(www.xing528.com)

②如果是下层准则相对于紧上准则或总目标的权重，则采用和归一化。

（5）由上往下计算下层准则／子准则相对于总目标的全局权重。计算公式［即层间集结准则式（3.5）］为

其中，是第l+1层第j个准则／子准则相对于总目标的总权重；是第l+1层第j个准则／子准则相对于上一层（即第l层）第k个准则／子准则的局部权重；是第l层第k个准则／子准则相对于总目标的总权重。

（6）采用算术加权平均法计算方案关于总目标的总权重。集结准则（定理2.18中的式子）为

其中，ρj是方案xj关于总目标的权重；ujl是方案xj关于第l个末端准则／子准则的局部权重（极小归一化的）；βl是第l个末端准则／子准则关于总目标的总体权重（和归一化的）。

说明：为什么在基于加性互补判断矩阵的层次决策模型以及基于模糊互补判断矩阵的层次决策模型中，在推导准则的权重时，应用的是转换后的乘性互补判断矩阵？原因如下：首先，由式（3.1）～式（3.4）可知，层次决策模型的理论基础是加权平均的等价变换，其中的权重需要和归一化，因此层次决策模型中的准则权重必须和归一化；其次，一个一致性的互补判断矩阵可以对应若干个权重向量，只有乘性互补判断矩阵的和归一化权重向量是唯一的。比如，例1.2中的一致性的模糊互补判断矩阵

其任何一列都是其对应的权重向量（还有无数个），当第一列和第二列和归一化时，得到

显然，这两个权重向量在和归一化后并不一样，且都不是原矩阵对应的权重向量（与例1.2的分析过程类似）。但是，基于一致性乘性互补判断矩阵推导的和归一化的权重向量，结果是唯一的，且和归一化后仍然是原矩阵的权重向量。因而，在基于加性互补判断矩阵的层次决策模型以及基于模糊互补判断矩阵的层次决策模型中，在推导准则的权重时，建议使用转换后的乘性互补判断矩阵推导和归一化的权重向量。