乘性互补判断矩阵在乘半域中的性态 - 决策与群决策

（1）对于一个n×n两两比较矩阵M＝（pij），其中∀i，j（pij∈（0，+）），其乘性互补和一致性条件分别为∀j，k（pjk⊗×pkj＝e×）和∀j，k，l（pjl⊗×plk＝pjk）。

（2）对于一个一致性的乘性互补判断矩阵M＝（pij），当一个n×1向量W＝（wk），其中ωj∈（0，+），满足∀i，j∈I，pjk⊗×ωk＝ωj时，称其为M的一个权重向量。

在半域描述的背景下，有以下结果：

定理2.1　乘性互补判断矩阵M＝（pij）n×n的乘互补性可以用如下的不动点方程描述：（pij⊗×pji）⊗×pij＝pij，∀i，j。

证明：由于乘半域在其乘法意义下是阿贝尔群，幺元为e×，可知如果满足（pij⊗×pji）⊗×pij＝pij，∀i，j，则（pij⊗×pji）＝e×。从而满足乘互补性。

定理2.2　乘性互补判断矩阵M＝（pij）n×n是一致阵的充要条件是满足如下的等幂方程：

证明：充分性。当M⊗×M＝M时，由半域中矩阵相乘的规则式（2.1）可知

因而

由于乘性互补矩阵满足

因此∀j，k，l，（1／plj）（1／pkl）≥1／pkj，从而

上式等同于下式：

综合式（2.4）和式（2.5），可知

因而M是一致阵。充分性成立。

下面证明必要性。如果M是一致阵，则有∀j，k，l，pjlplk＝pjk，从而∀j，k，＝pjk，由半域中矩阵相乘规则，可知M⊗×M＝M成立。必要性成立。证毕。

有以下推论：

推论2.1　如果乘性互补矩阵M是一致阵，则M＝Mm⊗×，其中m是正整数。

定理2.3　正向量W＝［ωj］n×1是一致性乘性互补矩阵M＝（pij）n×n的权重向量的充要条件是如下不动点方程成立：

证明：充分性。当M⊗×W＝W成立时，由半域中矩阵相乘（也适用于矩阵与向量相乘）的规则，有

从而

对乘性互补矩阵有pij＞0，pij＝1／pji，从而有

上式和下式是等价的

综合式（2.7）和式（2.8），有pijωj＝ωi，∀i，j，从而正向量W＝［ωj］n×1是一致性乘性互补矩阵M＝（pij）n×n的权重向量。充分性成立。(www.xing528.com)

下面证明必要性。如果正向量W＝［ωj］n×1是一致性乘性互补矩阵M＝（pij）n×n的权重向量，则有pijωj＝ωi，∀i，j，从而有∀i。由半域中矩阵相乘的规则可知，M⊗×W＝W成立，该方程具有不动点方程f（x）＝x的形式。必要性成立。证毕。

定理2.4　一致性乘性互补矩阵M＝（pij）n×n的行几何平均可以作为其对应的权重向量，行几何平均在半域中的表示形式为

证明：首先，因为本章定义的乘性半域的乘法就是普通乘法，因此（pi1⊗×就是矩阵的行几何平均

其次，对一致性乘性互补矩阵M＝（pij）n×n，其对应的权重向量满足pij＝ωi／ωj，因此一致阵的行几何平均的结果为

从而所以一致阵的行几何平均向量可以作为权重向量。证毕。

需要说明的是，乘性互补判断矩阵的行几何平均向量可以作为其对应的权重向量，这个结论很早就被学者提出了（比如文献［20］），本章列出这个结论以及其他已有结论的目的有两个：首先，给出半域中的形式；其次，为了和其他类型的互补判断矩阵的结果类比。

定理2.5　一致性的乘性互补判断矩阵对应着唯一的极小归一化的权重向量，即一致性的乘性互补判断矩阵存在唯一的、极小归一化的、满足方程（2.6）的不动点与其对应，其形式为

证明：首先，乘性极小归一化在半域中的表现形式是很显然的，即（ωi）n×1⊗×其次，对一致性的乘性互补判断矩阵来说，当（ωi）n×1是其对应的权重向量时，其极小归一化的向量也是其权重向量，即满足，也因而极小归一化的权重向量满足不动点方程（2.6）。因此，本定理证明的核心是唯一性。

采用反证法证明唯一性。对一个一致阵，假设存在两个不一样的极小归一化权重向量因为是极小归一化，因而

分两种情况：

第一种情况，存在k（1）＝k（2），使

这是因为都是权重向量，因而有＝1的时候，推出这与假设1矛盾。

第二种情况，k（1）≠k（2），但此时也将推出矛盾结果。因为是极小归一化，每个元素都是大于等于1的，因而有因为两个极小归一化的向量都是权重向量，故而　有∀i。所　以∀i，从　而这与前两行中推出的矛盾。

综合以上，假设不成立，即应该有从而极小归一化的权重向量是唯一的。证毕。

需要说明的是，对乘性互补判断矩阵的权重向量进行极小归一化是文献［41］最早提出来的。

定理2.6　在乘半域中，加权平均的表现形式为

证明：由乘半域的定义（即乘半域上的运算）很容易得出定理中的式子：

推论2.2　对于乘性互补判断矩阵M＝（pij）n×n，定义如下操作：

∀i1，i2

则两行比较的“不劣于”关系：

可以表示成如下的不动点方程：