实用数学：排列数公式

现在再回顾一下上面的问题2.

从10名运动员中选3名，排好出场先后次序去参加比赛，问有多少种参赛方法.事实上就是从10个不同的元素中取出3个元素的所有排列.

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示（A是排列的英文Arrangement的第一个字母）如前面问题中的排列数就可用表示.

现在我们来研究计算排列数的公式。

例1　先看两个具体的排列数的计算：

求排列数可以这样考虑：假定有排列顺序的两个空位，从不同的7个元素a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中任取两个去填空，1个空位填1个元素，每一种填法就得到1个排列；反过来，任1个排列总可以由1种填法得到，因此，所有不同的填法总数就是排列数.那么有多少种不同的填法呢？事实上完成这件事可分两个步骤：

第1步：先排第1个位置的元素，可以从这7个元素中任选1个填上，有7种方法；

第2步：确定排在第2个位置的元素，可以从剩下的6个元素中任选1个填上，有6种方法.

于是，根据分步计数原理，得到排列数：

显然求排列数，可以依次填3个空位来考虑.

由此，我们可类似的得到：

由以上分析可得公式

其中m，n∈N＋，且m≤n这个公式叫做排列数公式.在这个公式中，右边第1个因数是n，后面每个因数依次比它的前一个因数少1，最后一个因数是n-m＋1.即元素总数与选取元素个数之差加上1，共m个因数相乘.

例如，＝8×7×6×5×4＝6720

　　　＝7×6×5×4×3×2＝5040

在排列数公式

＝n（n-1）（n-2）…（n-m＋1）

中，如果m＝n，即为全排列时，排列数公式变成

＝n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1

这个公式指出，全排列的排列数等于自然数1～n的连乘积，这个连乘积叫做n的阶乘，用n！表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成：(www.xing528.com)

＝n！.

例2　计算及.

解　＝15×14×13×12＝32760；＝5！＝5×4×3×2×1＝120.

例3　某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？

解　因为每一张车票实际上是对应着2个车站的1个排列，因此需要准备的车票种数，就是从12个车站中任取2个的排列数：

例4　用红、黄、蓝三面旗子按一定的顺序，从上到下排列在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，共可以表示多少种信号？

解　由于用任意一面、二面或三面旗子都可以表示某种信号，所以用一面旗子表示的信号对应着从3个元素中每次取出1个元素的排列，排列数是；用二面旗子表示的信号对应着从3个元素中每次取出2个元素的排列，排列数是；用三面旗子表示的信号对应着从3个元素中每次取出3个元素的排列，排列数是.由于以上3种形式都可以表示某一种信号，因而根据分类计数原理，所求信号的种数是：

例5　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析1　按照排列的最基本思想，先排百位上的数字，再排十位上的数字，最后排个位上的数字，但要注意的是百位上不能排0这个数字.

解法1　因为百位上的数字不能为0，所以只能从1～9的9个数字中任取1个，有种取法；十位上的数字和个位上的数字是可以排上0这个数字的，所以十位上的数字是从百位上的数字确定后余下的9个数字中任取1个，有种取法；个位上的数字是从百位、十位2个数字确定后余下的8个数字中任取1个，有种取法，根据分步计数原理，所求的三位数的个数是：

分析2　因为百位上不能为0，所以分两步考虑问题，第1步先排百位上的数字，待百位上的数字确定后，再考虑用余下的9个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数.

解法2　百位上的数字有种取法，从余下的9个数字中任取2个的排列，有种取法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：

练习

1.计算：

2.在下面的空格处填上合适的数字：

38名同学排成一排照相，有多少种排法？

3.9名表演者站成一排表演，规定领唱者必须站在中间，朗诵者必须站在最右侧，问共有多少种排法？

4.用1～5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中有多少个四位数是5的倍数？