类比思想方法的相关理论及作用

类比思想滥觞于古希腊著名学者亚里士多德，其首先在逻辑理论中提出类比，当时称为“例证”。此后，类比思想在西方一脉相承，并不断发展与完善，得到广泛的应用。

（一）类比思想方法的界定

类比思想方法是数学教学中最重要的方法之一，也是人类认识自然界与人类社会的重要思维工具，为加强对类比思想方法内涵与外延的认识，须首先对类比思想方法进行界定。

1.类比思想方法的概念

众所周知，类比思想方法是数学思想方法的重要组成部分，而所谓的数学思想，则是从具体的数学内容提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想；同时数学方法则是研究数学问题过程中所采用的途径、手段与方式等。数学方法与数学思想两者紧密相连，共同构成统称的数学思想方法。在实际操作过程中，注重指导思想的称为数学思想，同理注重操作过程的称为数学方法，在此基础上，形成相应的类比思想与类比方法等。

如前文所述，类比一词来自希腊文“analogia”，原意为“比例”。随着时代的变迁，而演变为比例之意。例如，3与4和9与12是两组不同的数，但它们所对应项的比是一致的，即3:4=9:12，故称之为“类比”。

换而言之，类比是根据两类（个）事物具有某些相似或相同的属性，其中一类（个）事物已知还具有另一个属性，从而推断出另一类（个）事物也可能具有这一相同属性或相似的属性。可见，类比是用以推理的一种思维方法，用这样的思维方法来进行类比思想方法操作。故类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以致形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，这之间包含了比较、联想、演绎、归纳等因素。如果说归纳是发现问题，演绎是解决问题，那么类比则是分析问题，是理性的思维过程。具体到结论的可靠程度，则主要依赖于两个研究对象的共有属性，一般而言，共有属性越多，其结论的可靠程度就越高。所以，类比思想方法有利于学生拓宽解题思路与获取新知识。

2.类比的模式与过程

类比是根据一个类比物（对象）的“类比项”（属性）推测另一个类比项的“属性”，故类比的一般模式如下。

若事物甲具有性质 a，b，c，d 和关系 A，乙具有性质 a1，b1，c1，则当 a，b，c 与 a1，b1，c1相似时，可考虑乙也具有性质d1（与d具有类似的相似关系），且具有关系A（与A1具有类似的相似关系）的可能性。

类比的结论并不是百分之百的可靠与准确，只具有一定程度的可靠性，因此其类似真推理方法。一般而言，两个对象的已知共同属性越多，由此推出的结论的准确性与可靠性越高。进行类比的具体过程如下。

首先，依据联想特征，由被研究对象的某些特征联想到具有类似特征的另一对象。在此基础上，依靠某种相似性，来搜寻契合的类比物。其次，明确两种物体之间的相似性，即充分了解与把握具体什么方面相似与相似的程度。最后，经过严谨的逻辑论证过程来推理相似结论，即依据上述明确的相似规律对结论进行合理的猜想与假设。

3.类比与归纳之间的联系

类比与归纳是数学思想中两种最重要的发现问题与解决问题的方法，特别是在发明与归纳的推理过程中经常运用到类比。归纳，同类比一样，也是数学思想方法，是根据人们对事物（在数学中可看成某种运算）局部的、有限次的观察，推出具有一般规律的结果，也就是从特殊情形推出一般结论的推理方法。即指通过特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论。而前面所论述的类比则是从一种由特殊到特殊的推理方法。

例如，我们依据a·a2=a1+2=a3，a2·a3=a2+3=a5…可归纳出同底数幂的乘法运算为am·an=am+n（m，n为正整数，a＞0），结合a2÷a=a2-1=a及上式可类比得出am÷an=am-n（m，n为正整数，m＞n，a＞0）。

很明显，通过上述归纳与推理过程，得出一个普遍性与具有指导性的结论，显然不属于从特殊到特殊的思维方式。

（二）类比思想的类型

类比思想是解决数学问题的有效方法之一，其需要严谨的类比推理过程，如图2-28所示。

图2-28　类比推理过程

由上述类比推理的流程图可知，进行类比思维活动时需要较为丰富的联想能力与一定的知识储备，其中的关键是找到一个非常合适的类比对象。同时依据类比本身的特征，可以将类比思想的类型简化类比、结构类比、降维类比等三大类。在日常的教学过程中，教师应在科学认识教学规律与学生认知规律的基础上，有计划与有目的地将类比思想方法渗透到教学活动中，使学生充分理解与掌握类比思想方法，并自觉运用到解题与日常生活中。

1.简化类比

简化类比在日常数学教学过程中应用比较广泛，是学生必须掌握的一种数学思维方式。顾名思义，简化类比是将原命题类比到比原命题简单的类似命题，即简化问题的条件和结论，通过类比命题的解决思路和方法的启示，寻求原命题解决思路与方法叫作简化类比。比如将多元问题类比为二元或一元问题，即减元类比；将高次问题类比到低次问题，即降次类比。这种类比类型可以有效沟通数学方法与数学知识之间的联系，提高解答数学的技巧，激发学生的思维，进而培养学生的数学思维能力。

例如：

分析：纵观整个式子，已知数的次数都是一，而未知数的次数都是二，这就需要将x2+y2进行降次的简化处理，进而求解题的思路与方法。

解：∵x+y=4

∴（x+y）2=16

∴x2+y2+2xy=16⇒x2+y2=16-2xy

∵xy=4

∴x2+y2=16-8=8

在数学思想方法的学习过程中，应注意仔细观察已知项与未知项之间的关系，注意将所要解决的问题与所熟知的信息进行类比，然后进行多方位的联想，将式子的组成结构、解题所遵循的方法、运算的规律与问题的结论等加以推广、迁移，从已知项中找出相似之处，然后进行延伸，进而得出正确的结论。简化类比有利于活跃学生的思维，引导其思维向问题纵深发展，进而触类旁通、举一反三。

2.结构类比

结构类比比简化类比思维层次要求要高，因为结构类比所要解决的问题没有形成现成的类比物，但我们可以通过细心地观察与严密地逻辑推理，从已知类比项的性质与定义等方面加以类比分析，依据结构上的相似性来寻求类比问题，然后将类比元进行适当代换，最终实现原问题向类比问题的转化。

3.降维类比(www.xing528.com)

“维数”在线性空间理论中属于一个最基本的概念，虽然超出初中生的认知范围，但在日常教学和考试过程中却不知不觉应到该理论。简单而言，就是我们常言的点动成线，线动成面，面动成体，换而言之，就是一维空间（直线）、二维空间（平面）与三维空间（立体几何）。

当我们在研究某个维度较高的几何问题时，可以先考查并解决一个与其类似而维度较低的问题，或将其转化为维度较低的问题，这样使抽象问题具体化与简单化，然后将解决后者时所用的方法或所得到的结论，尝试用来解决原来维数较高的问题，所以在扩展低维的结论时，将这种方法称为降维类比。

首先，回忆平面几何中常用的定义、定理与结论，并将其充分理解与把握；其次，将立体几何的相关问题转化到平面几何中，并评判真假，如果不能进行有效类比，则回忆知识储备中是否出现类似的命题；最后，在已有的知识储备中找到能将立体几何转化为平面几何的类似命题。

例如，求蚂蚁在立方体上A点与B点的最短距离，A点与B点是相对应的两个顶点。这本是立体几何中的抽象问题，但可以使用降维类比的方法将其简单化，将其降维到平面几何当中，变成矩形中求A与B的两点距离。所以在实际教学过程中，一定要让学生将抽象问题简单化与具体化，并亲自参与从提出问题到论证结论的探究过程，帮助学生树立几何不难的认知与信心。

（三）在教学中运用类比思想方法所起的作用

波利亚指出：“没有类比，在初等数学或高等数学中也许就不会有发现，其他学科中也不会出成果。”这直接地透露出类比思想方法在数学以及所有学科中的重要性。确实，在所有逻辑推理的方法中，类比法是最富有创造性的一种数学思想方法，其在教学中对促进学生培养直觉思维能力、探索新知识及增强课堂教学的有效性方面功不可没。

1.培养学生直觉思想能力

直觉思维是指不经过严密的逻辑分析而径直猜测、迅速判断的一种思维，其是以熟悉的知识为基础，通过越级判断，迅速得出结论的一种思维。其实，类比思想方法并不神秘，其存在于我们的日常生活中，为我们所熟悉与掌握，并不自觉地运用。在数学教学过程中，也存在大量类似或相似的公式、定理、公理与法则等，就看学生是否具有数学敏感性，能否透过扑朔迷离的现象把握事物的本质，解决问题的关键就是看学生是否掌握类比方法与具备类比能力。当学生遇到新问题时，应首先观察其结构，回忆以前是否见过类似的题目；然后思考类似的题目或问题是如何解决的，其结论又是什么；最后将两者进行类比，寻找相似或相同之处，进而找到问题的突破口。上述探索新旧问题有无相似或相同之处，就是直觉性。

直觉性包括解决方法的类比直觉性与问题情境的类比直觉性等，其中类比直觉解决了科学上很多的假说与猜想，为人类的发展做出杰出贡献。但在具体应用过程中，该类比思维是否成立，主要取决于下一步严密的逻辑思维过程。其实，在我们数学学习过程中，通过运用类比直觉进行解题的案例比比皆是。例如，学习相似三角形时可以通过全等三角形的判定与性质等；解决不等式时，可以借鉴等式的定义与推理过程等。所以，类比思想方法不仅契合新课标所强调的培养学生合理推理能力，而且有利于培养学生的直觉思维能力。

在现实生活中，当一个人遇到比较生疏的问题时，往往会从已有的知识储备中搜寻相似的问题作为类比的对象，进而寻求启发解决生疏问题的方法与途径。故类比思想方法堪比引路人，其能有效保持新旧知识之间的密切联系，调动学生学习的积极性与培养学生的数学思维能力。

2.增强课堂教学的有效性

世界上各事物之间是相互联系的，这些联系存在可比较性与相似性，因而为客观事物之间的类比奠定了基础。数学就是温故而知新的过程中，在学习中不断加强新旧知识之间的联系与沟通，进而形成严密的知识体系。

第一，学生要善于利用原有的知识结构体系，然后借助类比思想方法，进而有效地学习与理解新知识。例如，九年级讲解反比例函数时，就可以借助一次函数与其的相似性，通过类比思想方法来理解与把握。具体过程如下。

师：一次函数的定义是y=kx+b（k≠0），那么反比例函数的定义是什么？

生：同样需要考虑，且两者取值范围基本一样。

师：对于y=kx+b（k≠0）这样的正比例函数，当k＞0时，其图像经过哪几个象限？

生：一、三象限。

师：那么当k＞0时，反比例函数将会经过哪些象限？请同学们仔细思考一下，可以通过五点作图来判断。

（经过两分钟的思考之后）

生：同正比例函数一样，也是一、三象限。

师：同学们都很聪明，那如果k＜0时，图像经过哪些象限？

生：二、四象限。

上述案例虽然比较简单，但却可以形象地说明类比思想方法在具体教学中的作用。通过简单的类比，我们可以将正比例函数的概念、性质、图像等迁移到反比例函数之中。更重要的是，上述结论的得出并不是教师灌输给学生的，而是通过学生积极主动探究得来的，有利于激发学生学习的积极性，提高教学的有效性。

第二，类比思想方法在培养学生数学应用意识与能力方面也发挥着重大作用。知识来源于实践，同时反作用于实践。教师在教学过程中，应充分利用学生熟悉的环境、生活经验或已有知识，努力培养学生形成善于利用类比思想去观察、思考周围环境的习惯，同时还须注意引导学生将数学知识与其他学科知识进行类比分析，进行知识的类比迁移。该行为有利于培养与增强学生的数学应用意识与应用能力，进而提高解决问题的能力。例如，数学应用题就是现实生活的反映，但我们往往要将应用题转化为等式或不等式，这就是类比模型的建立，将文字数字化或模型化。这样有利于加强学生对应用题的理解，使学习变得更加有趣与轻松，进而不仅凸显学生的主体地位，还有利于培养学生的数学应用意识。

3.有助于学生探索新知识

使用类比思想方法的基础是充分把握与理解旧知识，类比思想方法起到的是桥梁的作用，但其可以有效突破教学重难点，并使学生体会“再发现”的乐趣，进而在活跃与宽松的学习氛围中获得新的知识。

为了加强对新知识的理解与把握，在讲授新知识之前，教师可以类比旧知识，从已有的知识体系中类比出新知识的相似或类似之处，进而降低教学难度。例如，教师在讲授相似三角形的判定时，首先会与学生一起复习全等三角形的判定定理，并在理解与把握三角形全等的定理与推理过程的基础上，将判定定理中的“两边对应相等”改为“两边对应成比例”。比如人教版九年级下册第42页证明三角形相似的过程就充分利用了三角形全等的相关定理，通过类比的思想方法证明出两个三角形相似。如此传授新知识，使其建立在旧知识的基础上，进而产生似曾相识的亲切感，进而不仅有利于旧知识的巩固，而且有利于新知识的接受与理解。

从严格意义上来讲，类比法不能算是严密的推理方法，但其已经广泛应用在数学科学研究中，并且能够依据事物之间的类似点或相似点提出猜想与假设，进而把已知事物的性质迁移到类似事物上，因而也算是一种较为科学的发明与发现的方法与工具。不仅数学中很多定理、公式与证明需要通过类比思想方法获得，生物、化学与物理等其他学科也是如此。以物理为例，当光线从一点到另一点并不是直接传播，而是经过一面镜子时产生了反射，现在求最短路径。根据光线传播的相关理论，此题可转化为纯粹的几何题目：已知A，B两点位于直线l的同侧，同时直线l上有一动点P，现在求AP与PB距离的最小值。通过如此类比转化，一道物理题顿时转变为数学中的几何题。

通过类比思想方法，使数学知识摆脱纯粹数字运算，进而将不同学科融合在一起，使数学知识变得丰富多彩与趣味十足，整个过程充满趣味性。同时还拓宽了数学问题的解决途径，使其应用领域更加广泛，有助于学生探索新知识。