翻转课堂在高中数学教学中的应用案例分析：以立体几何为例

该部分仅以“立体几何中直线和平面平行”这一部分为例进行研究。

案例

（一）前期背景分析

1.立体几何的特点

几何作为数学的一个分支，具有其独特的性质，具体如下：

（1）统一中的多样性

几何最初在埃及尼罗河边用于丈量土地测量，经历了多个世纪后，几何研究逐渐从实际应用转向了抽象研究，由于几何本身抽象程度各异，所以大多几何研究都是变换图形的不变性质与不变量。

（2）直观具体与抽象性的结合

几何考查的是空间想象力，但同时也可以用判定定理等直观的、具体的方式进行表现。换而言之，就是可以脱离物体，并且明确地把形式本身分离出来的表示形的概念。

（3）几何是空间的科学

几何学从开始就作为描述数学和测量的工具，并逐渐形成了庞大的几何知识体系。这些判定定理、性质表达的几何性质主要反映现实世界的空间形式。

2.解题步骤

高中阶段采用“审题—作图—证明—计算”的步骤来解决立体几何的计算问题。

第一步是审题，所谓审题就是将题里面的文字信息转化为图形信息，并且要在所转化出来的图形信息上标出相关的要素，简而言之就是文字信息的立体几何化过程。第二步是判断、证明，借助根据题意做出的图形来判断空间中直线与面、直线与直线、面与面之间的关系；第三步是证明、推导，既然在复杂的图形中，我们已经根据判定定理和相关的性质分析出基本图形和基本关系，那么我们就要按照一定的逻辑关系进行书面化的处理。

3.课程标准要求

第一，理解以下判定定理：

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

第二，理解以下性质定理，并能够证明：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行。

第三，能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

4.教学环境

教师为学生准备的学习资源方面包括：微视频、PPT、图书、学习单、其他参考资料，课前学生观看教学视频时需要有相应的技术和设备进行辅助，比如智能手机，要保证在观看的视频的同时，能够实时地在线进行互动和交流。但是准备的资源不应该太多，必须在能够满足学生的需求，要能够实现教学目标。学习单的编写应该包括以下内容，即学习目标、学习步骤和学法指导等。当然，在上课的过程当中还需要特别的注意，我们可以采用相应的技术设备进行辅导，但也不能完全依靠设备，不能让课堂成为设备的附庸，另外，强调课堂气氛的活跃，因为这可以调动学生的积极性和热情，但是不能太过宽松，以至于影响课堂的进程和学习的效率。

（二）学习目标设计

1.知识内容

立体几何学习的重要突破口就是学生的空间想象能力，这一能力的突破将使立体几何学习突破瓶颈，获得重大的进步。学习目标设计要遵循由简到繁，从具体到抽象的原则。教师通过提供大量的教学素材，帮助学生获得立体空间感，帮助学生认识空间几何体的基本的结构特征，形成建立立体图形的能力，并能初步运用这些图形来进行证明推理。

在几何教学之初，学会将语言信息转化为图像信息是最基本的能力。在教学活动当中，教师可以借助学生之前已经十分熟悉的长方形、点、线、面等作为教学载体，使学生首先了解平面图形中各部分的关系，再逐步地引入常规的立体图形，如长方体、正方体等；在初步学习立体几何时，学生要能对教材中出现的有关线面关系和线线关系当中的平行垂直定理进行证明，通过一段时间的学习和练习，学生已经基本掌握了这些定理的运用和证明方法，能够对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认并能根据学到的知识对锥体等更加复杂的图形进行学习和问题的解决。

在教学过程当中，教师可以利用必要的教学设备对立体几何图形进行展示，有利于提高学生的空间想象力，对判定定理和相关性质解决问题的能力有很大的帮助。

2.教学目标

①学生要掌握空间直线和平面的位置关系。②学生要能够根据直线和平面平行的判定定理，进行简单的证明题的论证。③通过动手作图，培养学生的空间想象能力和动手能力，让学生将数学思维运用到生活实践中去。

3.探究能力

立体几何的学习可以提高学生对空间与图形的抽象把握能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间。同时，立体几何是锻炼学生空间想象能力的重要手段，学生通过对立体几何的学习，能够提高空间想象能力，理论推理能力和学生的自我表达能力。

4.交流互动

这里的交流互动范围广泛，它包括课前和课上学生之间师生之间通过各种方式进行的信息交流，有利于建立和谐互动的师生关系，保障课堂教学。

5.主动学习

翻转课堂的教学模式在某种程度上是对传统的教学模式的颠覆，学生在课前的自主探索，激发了他们对数学的学习兴趣，增强了好奇心，是主动学习的过程。

（三）教学过程设计

1.课前知识传递

学生动手探究，感受直线和平面的位置关系。师生利用课堂上最简单易得的工具进行探索，用笔、书本、尺子，乃至教室里的灯管、屋顶进行形象化的演示，使学生的思维被这些熟悉的事物很快唤醒，并且集中到学习上来，再逐渐引导学生进行观察和猜想，进一步论证直线与平面的位置关系。

当进行了如此丰富的指引之后，学生对这一个知识点已经有了自己的认识和见解，此时教师应当引导学生进入书本知识的学习，在轻松、愉悦的氛围中，学生很快并且能够充满信心地应对复杂的立体几何知识，还能与生活实践结合在一起。最后，通过掌握的感性认识和理论知识的结合，为学生提供具有动力的简单问题让其解答。

2.课堂知识内化

课堂知识内化是课堂学习的最后，也是关键环节之一。学生要以小组的方式进行讨论，教师可以适时给予相关的指导，讨论是过程即是思维碰撞的过程，在这个过程中不懂的疑难点得到解答，知识点对学习者的影响更加深入。学生可以在小组之间进行课前预习心得的交流，教师要及时帮助学生解决学生在课前预习时遇到的各种各样的问题。

（四）学习资源设计

1.学习任务单设计

学习任务一：

直线和平面的位置关系如表3-1所示。

表3-1　直线与平面的位置关系

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，符号表示为：lα，让学生把直线和平面的位置关系进行归纳整理成表格，利用表格对比说明三种位置关系，如图3-1所示，平面α内有一条直线m，当m沿某个方向平移出平面α到如图直线l的位置。请你说出此时直线l与平面α的位置关系是什么？

图3-1　直线l与平面

【设计意图】

表格的归纳方式相比其他的方法更加直观形象，有利于学生将知识进行条理化的整理，更便于他们区分知识点的异同。另外，利用在课堂学习掌握的知识解决问题，不仅能激发学生的内驱力，还能巩固学到的知识。这一方法可能不会让所有学生获得思维的拓展，但是会让大部分学生找到学习中存在的问题，并进一步地解决。

学习任务二：

直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

用符号表示为：若aα，bα，且a//b，则a//α。如图所示，直线与平面平行的判定定理在生活中的应用。

图3-2　直线a与平面

平行吊线挂灯管就利用上述性质，只要灯管上方的两根吊线长度相同，并且保持平行，那么被悬挂的灯管和房顶就是平行的，仿照此例，说说你身边相似的案例。

教师讲解画图的方法，学生开始练习画图。

一般画法：通常先在平面外画出一段直线，在表示平面的平行四边形内再画出一段线段，使得平面内和平面外的两条线段保持平行。另一种画法是先在平面内画出一条线段，只需让平面外线段和平行四边形的一条边保持平行的状态即可。（如图3-3、3-4所示）

图3-3　直线l与平面平行

图3-4　直线l与平面内直线平行

【设计意图】

让学生能够利用语言描述直线和平面的关系，了解符号语言和图形语言，明确利用定理证明的关键。

学习任务三：

直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与此平面相交，那么该直线与两平面的交线平行。

已知：空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点（如图3-5）。求证：EF//平面BCD。如图3-5，找出EF与平面BCD内的哪条线平行？

图3-5

学习之初，学生都对自己缺乏足够的信心，这时教师可以不给出答案或不进行任何引导，而是鼓励他们自己先试着去按照对判定定理的理解写证明过程，最后再统一更正。(www.xing528.com)

师生共同反思：

①判定定理的实质；②判定定理的三个条件时不能缺少的，面内，面外，平行；③运用定理证明关键是在面内找一条直线和已知直线平行。

学生回答，教师对学生回答进行点评。

证明：连接BD两点，在ABD中，E，F分别是AB，AD的中点，所以EF//BD。又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，又EF平面BCD，所以EF//平面BCD。

【设计意图】

通过这道题检测学生预习线面平行判定定理的效果如何，发现预习中存在的问题，促进学生的自主探索。

学习任务巩固练习：

第一题，如图3-6所示长方体中：

Ⅰ与直线AB平行的平面有________；

Ⅱ与直线AA'平行的平面有____；

Ⅲ与直线AD平行的平面有_______。

图3-6

第二题，阅读下列三个命题是否正确，并说明理由：

Ⅰ过直线外一点，可以做无数个平面与这条直线平行；

Ⅱ如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

Ⅲ如果一条直线与一个平面平行，则它与这个平面内的任何直线平行。

【设计意图】

这部分试题的设计不仅是让学生利用刚学到的知识解决试题，对所学知识进行了综合化的回顾和利用，还是一种有效的自我检测。在解题过程中，学生发现有不懂或者疑问的地方，可以及时与同学讨论或向教师请教。整个课后的联系是课堂知识的巩固，也是整体能力的提升。

2.教学视频设计

一方面，翻转课堂在课前预习的环节总会看到教师提前精心准备好的教学视频，这些视频不是花边式的教学补充，而是进行课前学习的重要资源，是翻转课堂教学的重要开端。教学视频在设计过程中要与学习任务单、学习目标紧紧配合，相辅相成。另一方面，传统的课堂教学方式过于强调教师的灌输，缺乏与学生的互动，学生只能被动接受。而翻转课堂提供的课堂微视频给学生提供了提前认知和学习课本内容的机会，能够让学生展示自己的所学，提出自己的疑问，增加课堂的活跃度。

本研究中的教学视频设计分析归纳了各种模型优点和存在的问题，采纳了自主学习、混合式学习的相关理论，根据教学设计的一般原则和步骤，尤其是教学的目标对教学视频进行录制和整理，尽量多角度、全方位地贴近学生的学习特点，以激发学生的学习热情。

教学视频能否引起学生的关注，并激发学生的学习热情，是翻转课堂教学能否取得显著成效的关键。在课前，教师设计的微视频应该充分考虑知识目标和教学安排，除此之外还要考虑学生的兴趣、爱好，尽量迎合学生的喜好，这样才能让学生乐于接受微视频，并积极地进行课前预习。然而，凭借教师的一己之力既要突出教学重点，循序渐进地安排教学活动，还要考虑学生的内心诉求，实在不易。所以，教师在录制教学视频时，可以适当加入一些生动的案例，以增加课堂的趣味性。

在录制教学视频时，还要注意形式的多样性，丰富多样的形式不仅可以使教学视频看起来比较有新意，还在无意中为学生传达了要具有开放性、发散性的思维。由此可见，教学视频不是只传播一些固有的知识形态，还在传播一些思维方法。另外，微视频还是学生和教师的互动平台，学生在观看教学视频时的感受、疑惑、问题都可以通过网络交流的方式跟教师请教，在这种过程中建立信任，获得鼓励，增强自信心。除此之外，教师要明确各个方面之间的关系，包括选择的视频内容、利用的媒体形式、用怎样呈现方式等。例如有些教学内容是视频教学无法达到最佳效果的，这时就要有选择性地区分，明确应该用面对面授课、视频讲解等来讲解。

教学视频多样化的交互既自由又充满指引能力的视频，很难不吸引学生的关注和参与。学生自发地在视频中慢慢养成自主学习、自主思考，多方交流的品质，不正是我们想看到的翻转课堂的效果吗？

（五）学习活动设计

课前自主探索：

探究一：用我们手中的笔演示一条直线，用课本演示平面，用它们展示线面的位置关系。

图3-7

探究二：根据公共点的情况，对直线和平面的位置关系进行分类。

师：观察如图3-7所示的长方体ABCD-A'B'C'D'，下列各组中的直线与平面有几个公共点：

ⅠA'B'或A'D'所在的直线与平面AC；

ⅡA'A'或A'C'所在的直线与平面AC；

ⅢAB或AD所在的直线与平面AC。

学生观察并回答。

小组讨论：根据班级的具体情况将班级同学至少每四个人分成一个小组让他们进行自由讨论，讨论的内容可以是自己的经验心得，也可以是在学习过程中遇到的困惑或不解。讨论结束后，小组成员针对下面的3道习题进行讨论。如下：

Ⅰ证明直线a与平面α平行的步骤是：首先说明a__α，然后在平面α内找到__并证明直线a与它____，由直线和平面平行的____。

Ⅱ已知：直线b平面α，点p平面α，如下图3-8，求作：过p点作直线a，使a//b。做法：过点____和直线____作平面____；在平面内，过点____作直线____//b，则直线a就是所求直线。

图3-8

Ⅲ已知平面α、β和直线m，给出条件：①m//α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α//β（1）当满足条件____时，有m//β；（2）当满足条件___时，有m⊥β。

小组内部讨论的方式和方法多种多样，考虑到大家的害羞心态，可以采用小纸条抽签的方式，每人在纸上写下自己在学习过程中遇到的有困难或疑惑，最后将纸条汇总，采用抽签的方式随机进行抽签回答，如果抽到了自己的问题就打乱顺序重新抽签，以此方式循环几次，如果最终有某些问题大家都无法回答或者结果不满意，大家可以集体请求教师解答。这样既解决了大家的疑问，为每个同学提供了展示的平台，还增加了学习的趣味性。

师：你观察一下身边包括教室里，有没有直线和平面的位置关系？

例如上题这样的讨论新颖有趣，是学生乐于参与的形式，能最大限度调动学生学习、讨论的积极性还能跟实际生活联系在一起。在广泛而热烈的讨论中，拓展了学生的思维和想象力，调动了整个课堂的氛围，一箭双雕。

（六）教学策略设计

1.情境建设策略

《现代汉语词典》对“情境”一词是这样解释的：泛指一种具体场合的景象、境地、境况。从这个解释中可以看出，情境是可感知的、具体的，因此情境建设是根据学习目标创设的可以感知的、有感染力的具体的学习情景，是课前学习的重要环节。例如，灯管的吊线与墙面保持平行且两根等长，那么灯管就是和房顶保持平行的关系，列举一些生活中此类的例子。此时，教师讲解画图的方法，学生一边听一边开始实地操作，认真练习。

创造完整的、趣味的、真实的情境是一项具有挑战性的工作，但是却能最大限度地激发学生的探究欲望，符合ARCS动机理论设计，是可行的。

2.主动探索策略

翻转课堂的课前预习部分，教师只能根据教学目标和对学生的了解提供相关的学习资料，也可以在网络上进行指导和帮助，但这不能代替面对面的交流，因此教师要充分利用课堂上的教学时间，在探究活动过程中协助学生，引导他们选择正确的探究方向和探究方法，鼓励学生进行实践，培养学生的兴趣、爱好，从而引导他们获得知识、增强信心，达到学习目标。例如，教师为学生讲解画图方法，有的学生平时动手能力弱，此时更不想动手自己去做，因此教师可以单独关注，引导督促，在取得一定成效时给予适当的鼓励。

3.合作学习策略

在翻转课堂中，设计了小组学习的方式，并在最后要求进行小组评价，所以翻转课堂的顺利展开离不开小组之间的合作。因此，教师应该注重学生学习过程中有关合作能力、交流能力等方面的培养。在平时的学习中，教师可以开展形式多样的小组竞猜、小组辩论等活动，尽可能让每个同学都参与到课堂活动中。在小组合作的过程中，个人的能力得到提高，也进一步加强了班级的凝聚力。

4.启发式教学策略

《论语》中主张：“不愤不启，不悱不发。”这对翻转课堂的教学有很大启发。在进行学习任务单设计时，要提出有启发性的问题，适当的启发性问题能够为学生提供正确的探索思路，进一步深化学生的探索。例如，给出一条直线和平面的图形，适当地加上提示语，学生自然而然地就会想到运用哪些性质判定定理进行推导，进而得出直线与平面的位置关系时。在课堂上的辅导中，教师也不应该直接给出学生答案，要一步步地唤起学生的主导意识，引导学生在自己的知识框架中进行探索。

（七）评价方式设计

1.教师评价

笔者对选取的50名学生作答以下几道课堂练习题的情况进行了数据分析。

Ⅰ证明直线a与平面平行的步骤是：首先说明a__α，然后在平面内找到___并证明直线a与它___，由直线和平面平行的___。

Ⅱ已知：直线b平面α，点p平面α，如下图3-9，求作：过p点作直线a，使a//b。作法①过点___和直线___作平面___。

②在平面β内，过点__作直线____//b，则直线a就是所要求作的直线。

图3-9

Ⅲ已知平面、和直线m，给出条件：①m//；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α//β（1）当满足条件____时，有m//β；（2）当满足条件___时，有m⊥β。

笔者通过与部分同学的沟通及课堂练习题的作答情况的数据分析发现：

第一，学生能够理解以下线面平行的判定定理和性质定理。第二，部分基础较差的学生学习效果有明显提高，一些平时成绩不太好的学生的答题正确率取得了一定的提高。这些提高并不一定要关注在答题的正确率上，而是这些学生在翻转课堂引导下自主学习能力和对待学习态度的改变。这些变化使得我们不能否认翻转课堂正在对学生进行着一些综合素质的提升和改造。第三，部分基础不扎实的学生在翻转课堂上表现得不尽如人意。综合来讲，首先这部分学生本身就基础不扎实，新型的教学模式需要他们进行及时的课前预习、充分探究，但是这些学生并没有做到，因此在课堂上就难免会手忙脚乱。其次，这些学生自制力较差，没有对自己进行约束，课前预习不充分。最后，课堂上教师的授课是建立在充分预习的基础上的，预习工作都没有做好的这部分学生，不能对课堂知识进行吸收和内化。第四，平时成绩较好的学生答题正确率仍然很高。这部分学生本来就学习好，基础扎实，并且有一定自控能力，他们对于学习不是心血来潮，大部分建立在浓厚的学习兴趣上，因此能够很好地应对翻转课堂带来的改变，依然表现良好。第五，教师和学生对翻转课堂仍然略显生疏。翻转课堂在很多的学校和学科还属于新型教学模式，教师和学生缺乏这方面的实践操作经验，需要反复通过几次翻转课堂的实践进行磨合，这样教师和学生才能更快地融入各自的角色，达到最佳的效果。

综上所述，翻转课堂教学模式不仅要实践还要适应，对于大部分的学生来说，效果还是十分显著的，能够培养学生的学习兴趣，消除部分学生对数学的抵触情绪，引导学生进行更加深入的学习和探索。

2.组员评价

笔者随机抽取了几组进行评价归纳，大致有以下几种评价：

第一，小A同学跟大家交流不多，说话很少，只是在旁边默默地听取大家的分析意见，这可能与他本身内向的性格相关，希望他以后能大胆说话，在组内讨论的时候多发声，积极加入我们中间来。

第二，小B同学发言很积极，而且题都做对了，他不仅会一种解题方法，他能说出好多其他的想法，我觉得他掌握得很好，是个很好的参与者。

第三，小C同学很积极地参加了小组讨论，并提出了很多的观点，但是显然他预习的并不十分充分，有部分错误或混淆的知识点，不过总体来说他还是十分优秀的。

3.自我评价

D同学的自我评价：我认为我的预习效果还可以，也积极地参加了课堂上的小组讨论，但还是有不懂的地方，比如第二题和第三题。

高中阶段的学生相对于中小学已经比较成熟，他们有自己的想法和私人空间的要求，因此有时会不愿意与教师沟通，反而更愿意亲近与自己有共同语言的同学。学生通过动手实验，对空间中直线与平面的位置关系有感性的认识，摆脱了他们单纯依靠头脑想象的畏难情绪，激发了他们的好奇心。小组讨论使得同学间的友情增进，又充分释放了他们的个性，了解了彼此的优缺点，能够更好地提高学习效果。

教师评价、组员评价和自我评价的展开不仅仅是围绕本节的教学目标进行，不仅关注了知识的掌握情况和实践能力，还反映了学生的情感态度和学习方法、学习过程。同时，教师也可以通过大家的综合评价收集学生的实验心得，了解课堂的教学效果，包括对本节课程的掌握情况等，进一步增加师生之间的默契。