车辆系统仿真方法-车辆系统仿真理论与实践

病态系统也称刚性系统，其定义如下。

考虑一般形式的常微分方程组初值问题

假设系统雅可比矩阵器的特征值为λi（i＝0，1，…，n），如果系统的特征值均具有负实部，而且其实部的绝对值相差很大，数学上表示为

则式（2.1.34）描述的线性或非线性系统称为病态系统。

由定义可知，病态系统的时间常数（定义为）差别很大，在数值上可能相差几百甚至几万倍。这样，采用一般的方法进行仿真考虑到稳定性的限制，积分步长h必须选得使　小于某个常数，如欧拉法要求。换句话说，步长受到最小时间常数的限制，只能取得很小，但是，系统的过渡过程要由最大时间常数决定。因此，整个仿真过程要花费大量的计算时间，而且往往由于小步长导致很大的舍入误差而使仿真失败。例如，一个系统的，则用4阶龙格－库塔法求解步长，即积分1 s需要的步数，这样大的计算工作量将带来很大的舍入误差。为了克服上述困难，已经研究出不少有效的算法，如适合线性系统的缩方与乘方算法、蛙跳算法等，这里介绍仿真非线性系统比较有效的吉尔法。

吉尔法为隐式线性多步法，其形式为

式中，αi、βi为待定系数。

当k＝1时，得到隐式欧拉法Yn＋1＝Yn＋f（Yn＋1，tn＋1），其他2～6阶吉尔法的系数如表2.1.3所示。

表2.1.3　2～6阶吉尔法的系数

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吉尔法的稳定区域如图2.1.10所示。可以看出，它的稳定区域不是在整个左半复平面，而是由左半复平面中的R1、R2两个区域组成（见图2.1.11），称为刚性稳定。

对于不同阶的吉尔法，可求出相应的D、θ值。虽然吉尔法放宽了恒稳的稳定性条件，但实际上对大多数病态系统的仿真步长并没有加以限制。

图2.1.10　吉尔法的稳定区域（区域外部）

图2.1.11　刚性稳定区域

由于吉尔法是隐式的，因此采用迭代方法求解式（2.1.36）。若考虑自治方程，则迭代公式可以写为，其中C代表式（2.1.36）中的线性项，它不依赖于迭代次数i，而迭代初值由吉尔法的预估公式得到。式（2.1.36）迭代收敛条件为，这一条件正是算法稳定性的条件。可见，对于病态非线性系统的仿真，仍然要受制于步长h，所以应采用更有效的迭代方法，如可以使用牛顿迭代方法。为此，需要计算雅可比矩阵，这要增加很多工作量。但是，雅可比矩阵不必每次迭代都重新计算，只有达到所规定的迭代次数仍未满足给定精度的情况下才重新赋值。在实际的程序实现当中，为了便于变阶、变步长，吉尔法通常表示为向量形式：

式中，解向量，吉尔法系数L＝［l0l1…lk］T由表2.1.4给出；P为帕斯卡（Pascal）矩阵；（i＝0，1，2，…，M），i为每步迭代次数。

对非线性病态系统，采用吉尔法通常比采用一般变步长方法可节省大量仿真时间，而且病态程度越高，非线性越强，吉尔法的优越性也就越明显。另外，根据吉尔法编制的程序是通用的，既可以处理病态系统，也可以有效地仿真非病态系统。因此，吉尔法得到了比较广泛的应用。

表2.1.4　向量形式吉尔法的系数